第二章第二课 · 极限运算与无穷量

Calculus Lesson 2.2

无穷小量与无穷大量

理解"无限趋近于零"与"无限增大"的数学语言
掌握无穷小的性质与比较方法

📖 约 90 分钟 🎯 5个核心知识点 ✏️ 丰富练习题

🎯 本课学习目标

掌握以下五个核心知识点，为后续求极限打下基础

① 无穷小量的概念

什么样的函数叫无穷小？它和"很小的数"有什么区别？

② 无穷小的两个性质

有限个无穷小怎样运算？有界函数乘无穷小的结果是什么？

③ 无穷小的比较

同样趋向零，谁"快"谁"慢"？高阶、同阶、等价各是什么意思？

④ 无穷大量的概念

函数值无限增大意味着什么？它和极限存在有什么关系？

⑤ 无穷大与无穷小的关系

无穷大和无穷小之间有怎样奇妙的"倒数关系"？

💡 学习建议

本节课建立概念框架。理解了"无穷小"和"无穷大"的本质，后面学习极限运算和等价无穷小替换就会轻松很多！

从生活中感受"趋向于零"

在正式给出数学定义之前，先看两个生活中的例子

🧺 洗涤效果

用洗衣机洗衣物时，清洗次数越多，衣物上残留的污渍就越少。当洗涤次数无限增大时，衣物上的污渍趋于零。

→ 污渍量是一个随洗涤次数增大而趋向零的量

🕐 单摆运动

单摆摆动时，由于摩擦力和空气阻力，振幅不断减小。偏离角 $\theta$ 是一个不断减少的量，最终趋向于零。

→ 偏离角 $\theta$ 是一个随时间增大而趋向零的量

两个例子的共同特征：某个量在变化过程中，越来越接近零，即它的极限为 $0$。数学上把这样的量叫做无穷小量。

一、无穷小量的定义

定义 2-6

如果当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时，函数 $f(x)$ 的极限为 $0$，那么称函数 $f(x)$ 为 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）的无穷小量，简称无穷小。

换句话说，无穷小就是"极限为零的函数"，它不是一个具体的数，而是一个变化过程。

例子理解

函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$，当 $x\to\infty$ 时是无穷小，因为 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0$

但当 $x\to 1$ 时，$f(x)=\dfrac{1}{x}$ 不是无穷小，因为 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{x}=1\neq 0$

⚠️ 两个关键注意

① 必须指明变化趋势：说一个函数是无穷小，必须同时说明自变量的变化趋势（$x\to x_0$ 或 $x\to\infty$），离开了变化趋势就无法谈论无穷小。

② 无穷小不等于"很小的数"：无穷小是一个以零为极限的函数（变化过程），而不是一个固定不变的"很小的数"。但常数 $0$ 是唯一的无穷小常数。

直观感受：$\dfrac{1}{x}$ 在不同趋势下的表现

同一个函数，在不同的变化趋势下，可能是无穷小，也可能不是

左图：$x\to\infty$ 时 $\dfrac{1}{x}\to 0$，是无穷小 | 右图：$x\to 1$ 时 $\dfrac{1}{x}\to 1$，不是无穷小

二、无穷小的性质

性质 1

有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。

通俗理解：如果有几个量都在趋向零，那么把它们加起来或乘起来，结果仍然趋向零。

举例说明

设 $x\to 0$ 时，$\alpha = x$，$\beta = x^2$，$\gamma = x^3$ 都是无穷小。

和：$\alpha + \beta + \gamma = x + x^2 + x^3$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}(x + x^2 + x^3) = 0$ ✓ 仍为无穷小

积：$\alpha \cdot \beta = x \cdot x^2 = x^3$
$\displaystyle\lim_{x\to 0} x^3 = 0$ ✓ 仍为无穷小

⚠️ 特别注意："有限个"三个字不能少！

无穷多个无穷小的和未必是无穷小！

反例：设 $\alpha_n = \dfrac{1}{n}$（当 $n\to\infty$ 时是无穷小），取 $n$ 个这样的无穷小相加： $$\underbrace{\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} + \cdots + \dfrac{1}{n}}_{n\text{ 个}} = n \cdot \dfrac{1}{n} = 1$$ 结果是 $1$，不是无穷小！所以必须强调"有限个"。

性质 2：有界函数与无穷小的乘积

性质 2

有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。

通俗理解：一个"被限制住大小"的函数，乘以一个趋向零的量，结果一定趋向零。就像给一根弹簧套上了一个不断收缩的笼子。

经典应用

求 $\displaystyle\lim_{x\to 0} x\sin\dfrac{1}{x}$。

分析：当 $x\to 0$ 时，$x$ 是无穷小；而 $\sin\dfrac{1}{x}$ 虽然在 $0$ 附近剧烈振荡，但始终满足 $\left|\sin\dfrac{1}{x}\right| \leqslant 1$，是有界函数。

由性质 2，有界函数 $\sin\dfrac{1}{x}$ 与无穷小 $x$ 的乘积仍为无穷小，因此：$$\lim_{x\to 0} x\sin\dfrac{1}{x} = 0$$

✏️ 练一练：判断对错

1 非常小的数是无穷小。

✗ 错误。无穷小是极限为零的函数（变化过程），不是一个固定的"很小的数"。比如 $0.0001$ 虽然很小，但它是常数，其极限就是它自身 $0.0001\neq 0$，所以不是无穷小。

2 零是无穷小。

✓ 正确。常数函数 $f(x)=0$ 在任何变化趋势下极限都是 $0$，所以 $0$ 是无穷小。它是唯一可以是无穷小的常数。

3 无限变小的变量称为无穷小。

✗ 错误。"无限变小"说法含糊。无穷小的准确定义是极限为零的函数。比如 $f(x)=-\dfrac{1}{x}$（$x\to+\infty$）虽然值为负且绝对值越来越小，但它趋向 $0$，是无穷小。关键是"极限为 $0$"，而不是"值越来越小"。

4 无限个无穷小的和还是无穷小。

✗ 错误。性质 1 明确要求是"有限个"。前面已看到反例：$n$ 个 $\dfrac{1}{n}$ 相加等于 $1$，不是无穷小。

✏️ 填空练习：概念巩固

1 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos x = $ ______，因此当 $x\to 0$ 时，$\cos x$______（填"是"或"不是"）无穷小。

解：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos x = \cos 0 = 1 \neq 0$
所以 $\cos x$ 在 $x\to 0$ 时不是无穷小（极限为 $1$，不为零）。

2 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\cos x = $ ______，因此当 $x\to\infty$ 时，$\cos x$______（填"是"或"不是"）无穷小。

解：当 $x\to\infty$ 时，$\cos x$ 在 $-1$ 与 $1$ 之间不断振荡，极限不存在。
所以 $\cos x$ 在 $x\to\infty$ 时不是无穷小（极限根本不存在，更谈不上为零）。

3 $\displaystyle\lim_{x\to 1}(2x-1) = $ ______，因此当 $x\to 1$ 时，$(2x-1)$______（填"是"或"不是"）无穷小。

解：$\displaystyle\lim_{x\to 1}(2x-1) = 2\times 1-1 = 1 \neq 0$
所以 $(2x-1)$ 在 $x\to 1$ 时不是无穷小。

4 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{1+x^2} = $ ______，因此当 $x\to\infty$ 时，$\dfrac{1}{1+x^2}$______（填"是"或"不是"）无穷小。

解：$x\to\infty$ 时，$1+x^2\to\infty$，所以 $\dfrac{1}{1+x^2}\to 0$。
极限为 $0$，所以 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 在 $x\to\infty$ 时是无穷小 ✓

5 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin\dfrac{n\pi}{2}}{n} = $ ______。

解：$\sin\dfrac{n\pi}{2}$ 在 $-1$ 与 $1$ 之间振荡，是有界函数；$\dfrac{1}{n}$ 是无穷小。
由性质 2（有界函数 × 无穷小 = 无穷小），$\dfrac{\sin\frac{n\pi}{2}}{n} \to 0$。

6 设 $f(x)=\begin{cases} e^x, & x\leqslant 0 \\ ax+b, & x>0 \end{cases}$，若 $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=1$，则 $f(0^+)=$ ______，$f(0^-)=$ ______，$b=$ ______。

解：$f(0^-)=\displaystyle\lim_{x\to 0^-}e^x=e^0=1$
$f(0^+)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(ax+b)=a\cdot 0+b=b$
极限存在 ⟹ 左极限 = 右极限，即 $b=1$。

三、无穷小的比较

同样是趋向零，不同无穷小"趋零的速度"可能不同

当 $x\to 0$ 时，$x$、$x^2$、$x^3$ 都是无穷小，但它们趋向零的"速度"有快有慢。我们来看看：

在 $x$ 接近 $0$ 时，$x^3$ 比 $x^2$ 更快地趋向零，$x^2$ 又比 $x$ 更快。如何精确描述这种"快慢"关系？就需要无穷小的比较。

无穷小比较的精确定义

定义 2-7

设在同一变化过程中，$f(x)$ 与 $g(x)$ 都是无穷小，则：

类型	条件	直观含义
高阶无穷小	$\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$	$f(x)$ 比 $g(x)$ 趋零更快（$f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小）
同阶无穷小	$\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}{g(x)} = C$（$C\neq 0$）	$f(x)$ 与 $g(x)$ 趋零速度相当（同一"量级"）
等价无穷小	$\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$（即 $C=1$）	$f(x)$ 与 $g(x)$ 趋零速度"几乎一样"，是同阶的特殊情形

等价无穷小是同阶无穷小中"最亲近"的一种，比值的极限恰好等于 $1$，说明两个量在趋零过程中"差不多一样大"。记作 $f(x) \sim g(x)$。

注意：$g(x)$ 也是比 $f(x)$ 低阶的无穷小（低阶 = 趋零更慢）。

例题：判断无穷小的阶

A $x^2$ 与 $x$ 的关系（$x\to 0$）

解：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0} x = 0$
比值极限为 $0$，说明 $x^2$ 比 $x$ 趋零更快，即 $x^2$ 是 $x$ 的高阶无穷小。

B $3x$ 与 $x$ 的关系（$x\to 0$）

解：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{3x}{x} = \lim_{x\to 0} 3 = 3 \neq 0$
比值极限为常数 $3$，所以 $3x$ 与 $x$ 是同阶无穷小（但不是等价的，因为 $3\neq 1$）。

C $\sin x$ 与 $x$ 的关系（$x\to 0$）

解：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$（这是第一个重要极限，下节课会详细学习）
比值极限为 $1$，所以 $\sin x$ 与 $x$ 是等价无穷小，记作 $\sin x \sim x$（$x\to 0$）。

✏️ 练一练：辨别无穷小与无穷大

1 $\dfrac{1+x}{x^2}$（$x\to\infty$）

分析：$x\to\infty$ 时，分子 $1+x$ 约等于 $x$，分母 $x^2$ 增长更快。$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+x}{x^2} = \lim_{x\to\infty}\dfrac{\frac{1}{x}+1}{x} = \dfrac{0+0}{1}$…换个更直观的方式：$\dfrac{1+x}{x^2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}$，当 $x\to\infty$ 时都趋向 $0$。所以这是无穷小。

2 $\dfrac{3x-1}{x}$（$x\to 0$）

分析：$\dfrac{3x-1}{x}=3-\dfrac{1}{x}$。当 $x\to 0^+$ 时，$-\dfrac{1}{x}\to -\infty$；当 $x\to 0^-$ 时，$-\dfrac{1}{x}\to +\infty$。函数值的绝对值无限增大，所以这是无穷大。

3 $\ln|x|$（$x\to 0$）

分析：当 $x\to 0$ 时，$|x|\to 0^+$，而 $\ln t$ 在 $t\to 0^+$ 时趋向 $-\infty$。所以 $\ln|x|\to -\infty$，这是无穷大。

4 $e^{\frac{1}{x}}$（$x\to 0$）

分析：需要分左右讨论。当 $x\to 0^+$ 时，$\dfrac{1}{x}\to +\infty$，所以 $e^{\frac{1}{x}}\to +\infty$，是无穷大。当 $x\to 0^-$ 时，$\dfrac{1}{x}\to -\infty$，所以 $e^{\frac{1}{x}}\to 0$，是无穷小。可见：从左边趋近是无穷小，从右边趋近是无穷大！

✏️ 练一练：无穷小与无穷大（续）

1 $x\sin\dfrac{1}{x}$（$x\to 0$）

分析：$\sin\dfrac{1}{x}$ 有界（在 $-1$ 和 $1$ 之间），$x\to 0$ 是无穷小。由性质 2，有界 × 无穷小 = 无穷小。所以 $x\sin\dfrac{1}{x}$ 是无穷小。

2 $x\sin\dfrac{1}{x}$（$x\to\infty$）

分析：改写为 $\dfrac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$。当 $x\to\infty$ 时，令 $t=\dfrac{1}{x}\to 0$，则原式 $=\dfrac{\sin t}{t}\to 1$。所以极限为 $1$，既不是无穷小也不是无穷大。

3 $\dfrac{x^2}{x+1}$（$x\to\infty$）

分析：$\dfrac{x^2}{x+1}=\dfrac{x}{1+\frac{1}{x}}$，当 $x\to\infty$ 时，分子 $\to\infty$，分母 $\to 1$，所以整体 $\to\infty$。这是无穷大。

4 $(-1)^n$（$n\to\infty$）

分析：$(-1)^n$ 在 $+1$ 和 $-1$ 之间交替，极限不存在。但它是有界的（$|(-1)^n|=1$），所以既不是无穷小也不是无穷大。

💡 注意：不是所有极限不存在的函数都是无穷大！有界但振荡的函数两者都不是。

四、无穷大量的概念

定义 2-8

如果当 $x\to x_0$（或 $x\to\infty$）时，函数 $f(x)$ 的绝对值无限增大，那么称函数 $f(x)$ 为 $x\to x_0$（或 $x\to\infty$）的无穷大量，简称无穷大。

记作 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty$ 或 $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty$

例子

$f(x) = \dfrac{1}{x}$，当 $x\to 0$ 时是无穷大，因为 $\left|\dfrac{1}{x}\right|$ 无限增大。

$f(x) = x^2$，当 $x\to\infty$ 时是无穷大。

$f(x) = \tan x$，当 $x\to\dfrac{\pi}{2}$ 时是无穷大。

⚠️ 两个关键注意

① 无穷大也要指明变化趋势：跟无穷小一样，必须说明自变量的变化趋势。同样的 $\dfrac{1}{x}$，$x\to 0$ 时是无穷大，$x\to\infty$ 时是无穷小。

② 无穷大时极限不存在：当函数为无穷大时，按极限定义来说极限是不存在的。写 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty$ 只是一种记号，表示函数值无限增大，并不是说极限等于某个数。

无穷大量的图像特征

观察 $y=\dfrac{1}{x}$ 在 $x\to 0$ 时的行为

五、无穷大与无穷小的关系

核心关系

在同一变化过程中，无穷大与无穷小互为倒数关系。

具体来说

如果 $f(x)$ 是无穷大，那么 $\dfrac{1}{f(x)}$ 是无穷小。

如果 $f(x)$ 是无穷小（且 $f(x)\neq 0$），那么 $\dfrac{1}{f(x)}$ 是无穷大。

例子验证

当 $x\to 0$ 时：
$f(x) = x$ 是无穷小 → $\dfrac{1}{x}$ 是无穷大 ✓

当 $x\to\infty$ 时：
$g(x) = x^2$ 是无穷大 → $\dfrac{1}{x^2}$ 是无穷小 ✓

✏️ 练一练：无穷小的比较

1 $\dfrac{1}{2x}$

解：$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\frac{1}{2x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{2x}\cdot x = \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$

比值极限为 $\dfrac{1}{2} \neq 0$，是非零常数，所以 $\dfrac{1}{2x}$ 与 $\dfrac{1}{x}$ 是同阶无穷小（但不是等价，因为 $\dfrac{1}{2}\neq 1$）。

2 $\dfrac{1}{x^2}$

解：$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^2}\cdot x = \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x} = 0$

比值极限为 $0$，说明 $\dfrac{1}{x^2}$ 趋零更快，$\dfrac{1}{x^2}$ 是 $\dfrac{1}{x}$ 的高阶无穷小。

3 $\dfrac{1}{|x|}$

解：当 $x\to +\infty$ 时，$|x| = x$，所以 $\dfrac{1}{|x|} = \dfrac{1}{x}$。
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\frac{1}{|x|}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = 1$

比值极限为 $1$，所以 $\dfrac{1}{|x|}$ 与 $\dfrac{1}{x}$ 是等价无穷小。

📊 无穷小 vs 无穷大：全面对比

	无穷小量	无穷大量
定义	极限为 $0$ 的函数	绝对值无限增大的函数
记号	$\displaystyle\lim f(x) = 0$	$\displaystyle\lim f(x) = \infty$
极限	极限存在，等于 $0$	极限不存在（$\infty$ 只是记号）
前提	都必须指明自变量的变化趋势
关系	在同一变化过程中，互为倒数关系
举例	$\dfrac{1}{x}$（$x\to\infty$时）→ $0$	$\dfrac{1}{x}$（$x\to 0$时）→ $\infty$

核心思想：无穷小和无穷大都不是"数"，而是描述函数在某种变化趋势下的行为。

📋 无穷小性质与比较方法总结

性质总结

性质 1：有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。
（关键词：有限个！无穷个不行！）

性质 2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。
（关键词：有界！不要求也是无穷小，只要有界就行）

倒数关系

无穷大 $\xrightarrow{\text{取倒数}}$ 无穷小
无穷小（$\neq 0$）$\xrightarrow{\text{取倒数}}$ 无穷大

比较方法总结

设 $f(x)$、$g(x)$ 都是同一过程中的无穷小，计算 $\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}$：

结果 = 0 → $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小
（$f$ 趋零更快）

结果 = C ≠ 0 → 同阶无穷小
（速度相当）

结果 = 1 → 等价无穷小（记 $f \sim g$）
（速度"几乎一样"，同阶的特殊情形）

⚡ 易错点与常见误区

学完本课后，请务必记住以下几个容易出错的地方

误区 1："无穷小就是很小的数"

纠正：无穷小是一个过程，是极限为 $0$ 的函数。$0.001$ 是一个常数，不是无穷小。只有 $0$ 是唯一的无穷小常数。

误区 2："无穷大就是很大的数"

纠正：无穷大也是一个过程，描述的是函数值的绝对值无限增大。$10^{100}$ 虽然很大，但它是一个确定的数，不是无穷大。

误区 3：不指明变化趋势就说"是无穷小"

纠正：$\dfrac{1}{x}$ 在 $x\to\infty$ 时是无穷小，在 $x\to 0$ 时是无穷大。必须指明变化趋势！

误区 4："无穷大的极限存在，等于 $\infty$"

纠正：$\infty$ 不是一个数！写 $\lim f(x) = \infty$ 只是一种记号，表示函数值无限增大，极限不存在。

误区 5："无穷个无穷小的和还是无穷小"

纠正：性质 1 要求"有限个"。$n$ 个 $\dfrac{1}{n}$ 的和等于 $1$，不是无穷小。

第二课 · 完

本课小结

掌握了无穷小量和无穷大量的概念与性质，下一课我们将学习极限的四则运算法则，用它来系统地计算各类极限。

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