Mathematics Review
极限与连续
已恢复所有习题
· 37页全覆盖
题型一: 代入 / 有界×无穷小
题型二: $\frac{0}{0}$ 因式分解/有理化
题型三: $\frac{\infty}{\infty}$ 抓最高次
题型四: $\infty-\infty$ 通分/共轭
题型五: $\sin x/x$
题型六: $1^\infty$
题型七: 等价无穷小
题型八: 左右极限
题型九: 连续与参数
题型十: 间断点分类
↓ 向下滑动或点击“下一页”开始
核心 求极限万能流程
拿到任何求极限的题，按这个流程走：
第 1 步：代入试一试（趋近值代入）
→ 确定的数（分母≠0）?
就是答案！(题型一)
→ $\frac{0}{0}$ ? 因式分解 / 有理化 / 等价替换
→ $\frac{\infty}{\infty}$ ? 同除最高次
→ $\infty-\infty$ ? 通分 / 有理化
→ $\frac{\text{非零}}{0}$ ?
极限不存在 ($\infty$)
第 2 步：看结构特征
→ 含 $\sin\square / \square$ ? 第一个重要极限
→ $1^\infty$ 型? 第二个重要极限
→ 分段函数分界点? 求左右极限
习惯养成：先代入！能直接算就不用技巧；算不出来再根据“卡在哪里”选方法。
题型一 直接代入 + 有界×无穷小
★ 知识点1：连续函数直接代入
初等函数（多项式、三角、指数等）在
定义域内处处连续。
人话：如果 $x_0$ 在定义域内（分母≠0, $\ln$里>0），极限等于直接把数代进去。
这是最简单的情况，但
很多复杂题最后一步也回到代入。
★ 知识点2：有界 × 无穷小 = 0
若 $|f(x)|\le M$（有界），$g(x)\to 0$（无穷小），则 $f(x)g(x)\to 0$。
典型有界函数：$\sin x$、$\cos x$、$\arctan x$
✗ 错：$\lim x\sin\frac{1}{x}=\lim x\cdot\lim\sin\frac{1}{x}$ (后者不存在)
✓ 对：有界 $\times$ 无穷小 $=0$
题型一 练习 Part
1/3
$\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{3x+1}{x^2+1}$
详解
代入 $x=-1$：分母 $1+1=2\ne 0$ ✓
结果 $= \frac{-3+1}{2} = \boldsymbol{-1}$
$\lim\limits_{x\to 1}(2x-1)$
详解
多项式处处连续，直接代入：$2(1)-1=\boldsymbol{1}$
$\lim\limits_{x\to 0}\cos x$ vs $\lim\limits_{x\to\infty}\cos x$
详解
1. $x\to 0$: $\cos 0=\boldsymbol{1}$ (代入)
2. $x\to\infty$: $\cos x$ 在 $[-1,1]$ 间无限振荡，不存在。
$\lim\limits_{x\to -\infty}e^x$
详解
$x\to -\infty$ 时，$e^x$ 图像无限贴近x轴，极限为 $\boldsymbol{0}$。
$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{1+x^2}$
详解
分母 $\to\infty$，$\frac{1}{\infty}=\boldsymbol{0}$
题型一 练习 Part
2/3
$\lim\limits_{x\to 0}x\sin\dfrac{1}{x}$
详解
$x \to 0$ (无穷小)，$\sin\frac{1}{x}$ 在 $[-1,1]$ 振荡 (有界)。
$\therefore$ 无穷小 $\times$ 有界 $= \boldsymbol{0}$
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin\frac{n\pi}{2}}{n}$
详解
分子 $\sin\frac{n\pi}{2}$ 取值 $0, 1, 0, -1...$ (有界)。
分母 $n\to\infty \implies \frac{1}{n}\to 0$ (无穷小)。
$\therefore$ 有界 $\times$ 无穷小 $= \boldsymbol{0}$
$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x+3}{x^2-x}(\sin x+2)$ 综合
详解
$\frac{x+3}{x^2-x}\to 0$（无穷小），$\sin x+2$ 有界（在[1,3]之间） ⇒ $\boldsymbol{0}$
正确 无穷小是极限为0的变量。常数0的极限是0，所以0是唯一的常数无穷小。
题型一 练习 Part
3/3
判断 非常小的数（如 $10^{-100}$）是无穷小。
详解
错误 无穷小必须是一个变量（过程），除了0以外的常数都不是无穷小。
错误 必须是有限个。反例：$n$个 $\frac{1}{n}$ 之和为 1 (常数)。
选择 $\alpha,\beta$是无穷小，下列可能不是无穷小的是？
A.$\alpha+\beta$
B.$\alpha\beta$ C.$\frac{\alpha}{\beta}$
详解
选 C。
A: 无穷小之和仍为无穷小。
B: 无穷小之积仍为无穷小。
C: $\frac{0}{0}$ 型，结果可能是常数、$\infty$ 或 0，不确定。
比较 $\frac{1}{2x}, \frac{1}{x^2}, \frac{1}{|x|}$ 与 $\frac{1}{x}$ 的阶
($x\to\infty$)
详解
$\frac{1/(2x)}{1/x} = 1/2$ (同阶)
$\frac{1/x^2}{1/x} = 1/x \to 0$ (高阶)
$\frac{1/|x|}{1/x} = \pm 1$ (同阶)
题型二 $\frac{0}{0}$ 型 (消零因子)
★ 核心逻辑
代入 $x=x_0$ 后发现分子分母都等于0。
这说明分子分母都有公因子 $(x-x_0)$。
任务：把这个“罪魁祸首”公因子找出来，约掉！
工具箱
1.
因式分解：十字相乘、平方差、立方差。
2.
有理化：看到根号 $\sqrt{A}-\sqrt{B}$，乘共轭 $\frac{\sqrt{A}+\sqrt{B}}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$。
3.
参数法：若已知极限存在且分母$\to 0$，则分子必$\to 0$。
题型二 练习 Part
1/3
$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{2x^2-x-1}$
详解
代入得 $\frac{0}{0}$。零因子是 $(x-1)$。
分子: $(x-1)(x+1)$
分母: $(x-1)(2x+1)$ (十字相乘)
约分后代入: $\frac{1+1}{2(1)+1} = \boldsymbol{\frac{2}{3}}$
$\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^3+8}{x+2}$
详解
立方和公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
原式 $=\dfrac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2}$
$= (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4+4+4 = \boldsymbol{12}$
$\lim\limits_{x\to 1}\left(\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{3}{1-x^3}\right)$
详解
$\infty-\infty$ 通分变 $\frac{0}{0}$。
$1-x^3 = (1-x)(1+x+x^2)$
通分: $\frac{(1+x+x^2)-3}{(1-x)(1+x+x^2)} = \frac{x^2+x-2}{-(x-1)(1+x+x^2)}$
分子分解: $(x-1)(x+2)$。
约去 $(x-1)$，注意分母有个负号。
结果: $\frac{1+2}{-(1+1+1)} = \boldsymbol{-1}$
题型二 练习 Part
2/3
参数题 已知 $\lim\limits_{x\to
-1}\dfrac{x^3+ax^2-x+4}{x+1}=b$，求 $a,b$。
详解
分母 $\to 0$，极限存在 $\implies$ 分子必 $\to 0$。
代入 $x=-1$: $-1+a+1+4=0 \implies a=-4$。
原式 $\frac{x^3-4x^2-x+4}{x+1} = \frac{x^2(x-4)-(x-4)}{x+1} = \frac{(x-4)(x^2-1)}{x+1}$
$= \frac{(x-4)(x-1)(x+1)}{x+1} = (x-4)(x-1)$
代入 $x=-1$: $(-5)(-2) = 10 \implies \boldsymbol{b=10}$
参数题 已知 $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}=5$，求
$a,b$。
详解
分母 $\to 0 \implies$ 分子 $1+a+b=0$。
分解: $\dfrac{(x-1)(x-b)}{x-1} = x-b \to 1-b=5 \implies b=-4$。
$a = -1-b = 3$。
$\therefore a=3, b=-4$。
题型二 练习 Part
3/3
$\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^3+2x^2}{(x-2)^2}$
详解
代入 $x=2$。
分子 $8+8=16 \ne 0$。
分母 $=0$。
这是 $\frac{\text{非零}}{0}$ 型，极限为 $\boldsymbol{\infty}$ (不存在)。
注意 只有 $\frac{0}{0}$ 才能约分！
判断 $\lim f=A, \lim g=0 \implies \lim f/g$ 不存在。
详解
错误
如果 $A \ne 0$，则极限为 $\infty$ (不存在)。
如果 $A=0$，则是 $0/0$ 型，结果不确定。
判断 $\lim(x^2-3x) = \lim x^2 - \lim 3x = \infty-\infty$
详解
错误
四则运算法则要求**每一项的极限都存在**。
这里 $\lim x^2 = \infty$，不能拆开算。
题型三 $\frac{\infty}{\infty}$ 型 (抓老大)
★ 核心口诀
当 $x\to\infty$ 时，多项式的行为由
最高次项决定。
设分子最高 $m$ 次，分母最高 $n$ 次：
1. $m \lt n \implies \boldsymbol{0}$ (分母大)
2. $m > n \implies \boldsymbol{\infty}$ (分子大)
3. $m = n \implies \boldsymbol{\text{最高次系数之比}}$
标准解法
分子分母同时除以 $x$ 的最高次幂。
利用 $\frac{1}{x^k} \to 0$ 消去低次项。
题型三 练习 Part
1/3
$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+x+1}{3x^2+1}$
详解
分子最高 2次，分母最高 2次。
$\to$ 系数比: $\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+x}{4x^3+1}$
详解
分子2次 < 分母3次。
$\to$ $\boldsymbol{0}$
$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^3-x}{2x^2+1}$
详解
分子3次 > 分母2次。
$\to$ $\boldsymbol{\infty}$
$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{2}\,x}{1+x^2}$
详解
分子1次 < 分母2次。
$\to$ $\boldsymbol{0}$
题型三 练习 Part
2/3
$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+1}}$ 注意
详解
$\sqrt{x^2} = |x|$。
$x\to +\infty$ 时，$\frac{2x}{x} = 2$。
$x\to -\infty$ 时，$\frac{2x}{-x} = -2$。
若无指定方向，则极限不存在；若指定 $+\infty$ 则为 2。
$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{x^2-1}$
详解
可以直接化简: $\frac{1}{x-1}$。
$x\to\infty \implies \boldsymbol{0}$。
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+2+\cdots+n}{n^2}$
详解
先求和：分子 $= \frac{n(n+1)}{2} = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$。
现在是 $\frac{\frac{1}{2}n^2}{n^2}$。
2次=2次，结果 $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^3}{2x^2-1}-\dfrac{x^2}{2x+1}\right)$
详解
先通分！
$\dfrac{x^3(2x+1) - x^2(2x^2-1)}{(2x^2-1)(2x+1)}$
$= \dfrac{2x^4+x^3-2x^4+x^2}{4x^3+...} = \dfrac{x^3+x^2}{4x^3+...}$
3次=3次，结果 $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
题型三 练习 Part
3/3
判断 $f$有极限，$g$无极限，则 $f+g$ 必无极限。
详解
正确
反证法：假设 $f+g$ 有极限 $A$，已知 $f$ 有极限 $B$。
则 $g = (f+g) - f$ 极限为 $A-B$ (存在)，与已知矛盾。
判断 $f, g$ 均无极限，则 $f+g$ 必无极限。
详解
错误
反例：$f=x, g=-x$。
两者都$\to\infty$ (无极限)，但 $f+g=0$ 有极限。
判断 $\lim \sum \frac{k}{n^2} = \sum \lim \frac{k}{n^2}$
详解
错误
项数 $n\to\infty$ 时，不能逐项取极限！
必须先求和再取极限。
选择 $x\to\infty$ 时有极限的是？
A.$\sin x$ B.$e^x$
C.$\arctan x$ D.$\frac{1}{x-1}$
详解
选 D。
A. 振荡。 B. $+\infty$是无穷大，$-\infty$是0。 C. $\pm\pi/2$不同。 D. $\to 0$ (存在)。
题型四 $\infty-\infty$ 型
★ 警告
$\infty - \infty \ne 0$！结果完全不确定。
核心思路：把减法变成除法（通分）或乘法。
$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
详解
根号型 乘共轭 $\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$。
分子变成 $(n+1)-n = 1$。
分母 $\to +\infty$。
$\frac{1}{\infty} = \boldsymbol{0}$
$\lim\limits_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1})$
详解
分子共轭: $(x^2+x+1)-(x^2-x+1) = 2x$
分母: $\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}$
同除以 $x$ (注意 $x>0$ 时 $\sqrt{x^2}=x$)
$= \frac{2}{\sqrt{1+...}+\sqrt{1-...}} = \frac{2}{1+1} = \boldsymbol{1}$
题型四 练习 Part
2/2
$\lim\limits_{x\to 1}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{x^2-1}\right)$
详解
分式型 必须通分！
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$。
原式 $= \frac{1(x+1)-2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$。
代入 $x=1$ 得 $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
填空 $f(1)=3, f$连续，$\lim_{x\to
1}f(x)(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1})$
详解
括号部分化简为 $\frac{1}{x+1}$。
$\lim f(x) \cdot \frac{1}{x+1} = f(1) \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{2} =
\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sin 3x}$
详解
$\frac{0}{0}$ 型，混合方法。
分子有理化: $\frac{(1+x)-(1-x)}{\sqrt{...}+\sqrt{...}} = \frac{2x}{\sqrt{...}+\sqrt{...}}$
原式 $= \frac{2x}{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})\sin 3x}$
$= \frac{2x}{2 \cdot 3x} = \boldsymbol{\frac{1}{3}}$ (利用 $\sin 3x \sim 3x$)
题型五 第一个重要极限
★ 公式
$$\lim_{\square\to 0}\frac{\sin \square}{\square} = 1$$
三要素
1. 分子是 $\sin(\text{某坨东西})$
2. 分母也是 $\text{这坨东西}$ (完全一样)
3. $\text{这坨东西} \to 0$
注意：$x\to\infty$ 时，$\frac{\sin x}{x} \to 0$ (有界/无穷)，不是1！
题型五 练习 Part
1/3
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}$
详解
$\sin$ 里面是 $3x$，分母是 $x$，不匹配。
凑: $\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \to 1 \cdot 3 = \boldsymbol{3}$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{4x}$
详解
拆开 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$。
原式 $= \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{4\cos x}$。
第一部分 $\to 1$，第二部分 $\to \frac{1}{4\cdot 1}$。
结果 $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$ 重要
详解
二倍角公式: $1-\cos x = 2\sin^2(x/2)$
原式 $= \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = 2 \cdot (\frac{\sin(x/2)}{x})^2$
$= 2 \cdot (\frac{\sin(x/2)}{2 \cdot x/2} \cdot \frac{1}{2})^2 = 2 \cdot (\frac{1}{2})^2 =
\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
题型五 练习 Part
2/3
$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sin(x-1)}{x^2+x-2}$
详解
$x-1 \to 0$，符合公式环境。
分母 $= (x-1)(x+2)$。
原式 $= \frac{\sin(x-1)}{x-1} \cdot \frac{1}{x+2} \to 1 \cdot \frac{1}{3} = \boldsymbol{\frac{1}{3}}$
$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x-\sin a}{x-a}$
详解
和差化积: $\sin x-\sin a = 2\cos\frac{x+a}{2}\sin\frac{x-a}{2}$
原式 $= \lim \cos\frac{x+a}{2} \cdot \frac{\sin\frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}}$
后半部分 $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ($t=\frac{x-a}{2}\to 0$)
结果 $= \cos a \cdot 1 = \boldsymbol{\cos a}$
$\lim\limits_{x\to 0}\left(x^2\sin\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{\sin 3x}{x}\right)$
详解
第一项：有界x无穷小 = 0。
第二项：$\to 3$。
结果 $\boldsymbol{3}$。
题型五 练习 Part
3/3
判断 $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=1$
详解
错误
重要极限要求 $x\to 0$。
当 $x\to\infty$ 时，$\sin x$ 有界，$x \to \infty$，结果为 0。
选择 $\sin^2\frac{1}{n}$ 与 $\frac{1}{n^k}$ 等价
($n\to\infty$)，求$k$
详解
$\frac{1}{n} \to 0$。
$\sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$。
$\sin^2 \frac{1}{n} \sim (\frac{1}{n})^2 = \frac{1}{n^2}$。
$\therefore \boldsymbol{k=2}$。
题型六 第二个重要极限 ($1^\infty$)
★ 万能公式
看到 $(1+\square)^{\triangle}$ 且 $\square\to 0, \triangle\to\infty$：
$$\lim (1+\frac{k}{x})^x = e^k$$
$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x$
详解
定义题。
结果 $\boldsymbol{e}$
$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{3}{x}\right)^x$
详解
直接套公式: $k=-3$。
结果 $\boldsymbol{e^{-3}}$
$\lim\limits_{x\to 0}(1-3x)^{2/x}$
详解
$x \to 0$，底数 $\to 1$，指数 $\to \infty$。
令 $t = 1/x$，则 $t\to\infty$。
原式 $= (1-\frac{3}{t})^{2t} = [(1-\frac{3}{t})^t]^2$
$= (e^{-3})^2 = \boldsymbol{e^{-6}}$
题型六 练习 Part
2/2
$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^x$
详解
变形底数: $\frac{x+1}{x-1} = \frac{x-1+2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$。
现在是 $(1+\frac{2}{x-1})^x$。
$k=2$，指数 $x$ 与分母 $x-1$ 同阶。
结果 $\boldsymbol{e^2}$
$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+2}\right)^x$
详解
底数 $= 1 - \frac{1}{x+2}$。
$k=-1$。
结果 $\boldsymbol{e^{-1}}$。
$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{x^2}$
详解
底数 $= \frac{x^2+1-2}{x^2+1} = 1 - \frac{2}{x^2+1}$
指数是 $x^2$，与 $x^2+1$ 同阶。
$k = -2$。
结果 $\boldsymbol{e^{-2}}$
判断 $\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x = 1$
详解
错误
虽然底数 $\to 1$，但指数无穷大有累积效应。
$1.0001^{10000} \approx 2.718$。
结果是 $e$。
题型七 等价无穷小替换
★ 必背公式 ($x\to 0$)
$\sin x \sim x$ $\tan x \sim x$
$\arcsin x \sim x$ $\arctan x \sim x$
$\ln(1+x) \sim x$ $e^x-1 \sim x$
$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ $\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{x}{n}$
铁律
只替换
乘除因子！
加减法中尽量不要直接替换（除非你非常确信高阶无穷小关系）。
题型七 练习 Part
1/3
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan 5x}{\sin 3x}$
详解
$\tan 5x \sim 5x$
$\sin 3x \sim 3x$
$\frac{5x}{3x} = \boldsymbol{\frac{5}{3}}$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x \ln(1+3x)}$
详解
$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
$\ln(1+3x) \sim 3x$
原式 $= \frac{0.5x^2}{x \cdot 3x} = \frac{0.5x^2}{3x^2} = \boldsymbol{\frac{1}{6}}$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{\sin x}$
详解
$e^{2x}-1 \sim 2x$
$\sin x \sim x$
$\frac{2x}{x} = \boldsymbol{2}$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}$
详解
$(1+x)^{1/3}-1 \sim \frac{1}{3}x$
结果 $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
题型七 练习 Part
2/3
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$ 易错
详解
错解 $\tan x \sim x, \sin x \sim x \implies x-x=0$。
正解 提出公因子变乘法。
$\tan x - \sin x = \tan x(1-\cos x)$
$\sim x \cdot \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^3$
原式 $= \frac{0.5x^3}{x^3} = \boldsymbol{\frac{1}{2}}$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x + 3x}{\tan x + 2x}$ 加法技巧
详解
分子分母同除以 $x$：
$\dfrac{\frac{\sin x}{x}+3}{\frac{\tan x}{x}+2} \to \dfrac{1+3}{1+2} = \boldsymbol{\dfrac{4}{3}}$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(x^3)}{(\sin x)^3}$
详解
$\sin(x^3) \sim x^3$
$(\sin x)^3 \sim x^3$
结果 $\boldsymbol{1}$
题型七 练习 Part
3/3
选择 $1-\cos x$ 是 $x$ 的什么阶无穷小？
详解
$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$。
因为幂次是 2 > 1，所以是 $x$ 的高阶无穷小。
选择 $\sin^2 x$ 与 $(1-\cos x)^2$ 是？
A.同阶 B.高阶 C.低阶
详解
$\sin^2 x \sim x^2$
$(1-\cos x)^2 \sim (\frac{1}{2}x^2)^2 = \frac{1}{4}x^4$
$x^4$ 比 $x^2$ 阶数高。
所以 $(1-\cos x)^2$ 是 $\sin^2 x$ 的高阶无穷小。
题型八 左右极限
★ 定理
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A \iff f(x_0^-)=f(x_0^+)=A$$
左极限 = 右极限，极限才存在。
何时需要分左右？
1.
分段函数的分界点。
2.
绝对值 $|x|$ 在 0 处。
3. $e^{1/x}$ 在 $x\to 0$ 处。
4. $\arctan x$ 在 $x\to \infty$ 处。
题型八 练习 Part
1/2
$f(x)=\begin{cases}e^x,&x\le 0\\ax+b,&x\gt 0\end{cases}$，求 $\lim_{x\to 0}$ 存在的条件
详解
$f(0^-) = e^0 = 1$
$f(0^+) = b$
极限存在 $\implies b=1$。
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}$
详解
$x \to 0^+$ (正数): $\frac{x}{x} = 1$
$x \to 0^-$ (负数): $\frac{-x}{x} = -1$
不相等，极限不存在。
$\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x$
详解
$x \to +\infty \implies \pi/2$
$x \to -\infty \implies -\pi/2$
不相等，极限不存在。
$f(x)=\begin{cases}3x,&-1\lt x\lt 1\\2,&x=1\\3x^2,&1\lt x\lt 2\end{cases}$，求
$\lim_{x\to 1}$
详解
左极限: $3(1) = 3$
右极限: $3(1)^2 = 3$
相等，极限为 $\boldsymbol{3}$。
(注意：与 $f(1)=2$ 无关)
题型八 练习 Part
2/2
$\lim\limits_{x\to 0} e^{1/x}$
详解
$x\to 0^+$: $1/x \to +\infty \implies e^{+\infty} = +\infty$
$x\to 0^-$: $1/x \to -\infty \implies e^{-\infty} = 0$
极限不存在。
$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{1+e^{1/x}}$
详解
右极限: $\frac{1}{1+\infty} = 0$
左极限: $\frac{1}{1+0} = 1$
不相等，不存在。
判断 $\lim f(x)=A \implies f(x_0)=A$
详解
错误
极限与该点的函数值无关。
例如 $x^2-1/x-1$ 在 $x=1$ 处无定义，但极限为2。
错误
还需要左极限 = 右极限。
如跳跃间断点，左右都存在但不相等。
题型九 连续性与参数
连续的充要条件
$$f(x_0^-) = f(x_0^+) = f(x_0)$$
即：左极限 = 右极限 = 函数值
$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x},&x\ne 0\\a,&x=0\end{cases}$ 在0处连续，求$a$
详解
极限 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$。
要连续，极限值必须等于函数值 $f(0)=a$。
$\therefore a=1$
$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\lt 1\\a,&x=1\\3x-1,&x\gt 1\end{cases}$ 连续，求$a$
详解
左极限 $1^2+1 = 2$
右极限 $3(1)-1 = 2$
函数值 $a$
$2=2=a \implies \boldsymbol{a=2}$
题型九 连续性 Part
2/3
$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x},&x\lt 0\\a,&x=0\\x\sin\frac{1}{x}+b,&x\gt
0\end{cases}$，求$a,b$
详解
左极限: 1。
右极限: $0+b=b$。
函数值: $a$。
$1=b=a \implies \boldsymbol{a=1, b=1}$
$f=\begin{cases}\frac{\ln(1-x)}{x},&x\gt 0\\-1,&x=0\\\frac{|\sin x|}{x},&x\lt
0\end{cases}$ 在0连续吗？
详解
右: $\frac{-x}{x} = -1$
左: $|\sin x|=-\sin x$ ($x\lt 0$), $\frac{-x}{x}=-1$
$f(0)=-1$
三者相等，连续。
$f=\begin{cases}\cos x-1,&x\lt 0\\k,&x\gt 0\end{cases}$ 极限存在，$k=$?
详解
左: $1-1=0$
右: $k$
存在 $\implies \boldsymbol{k=0}$
题型九 连续性 Part
3/3
$f(x)=\sqrt{x}+\ln(3-x)$ 的连续区间
详解
初等函数在定义域内连续。
1. $\sqrt{x} \implies x \ge 0$
2. $\ln(3-x) \implies 3-x \gt 0 \implies x \lt 3$
交集: $\boldsymbol{[0, 3)}$
错误
$\lim_{x\to 0}|x| = 0 = f(0)$。
它是连续的，只是不可导（有尖角）。
判断 $f,g$ 均不连续 $\implies f+g$ 不连续
详解
错误
例子: $f$ 在0处跳跃 ($1 \to -1$)，$g$ 在0处跳跃 ($-1 \to 1$)。
$f+g$ 恒为 0，是连续的。
判断 $f$ 连续, $g$ 不连续 $\implies fg$ 不连续
详解
错误
若 $f \equiv 0$，则 $fg \equiv 0$，连续。
题型十 间断点分类
| 类别 |
特征 |
例子 |
| 第一类 |
左右极限都存在 |
|
| - 可去 |
左=右 ($\ne$函数值) |
$\frac{\sin x}{x}$ ($x=0$) |
| - 跳跃 |
左 $\ne$ 右 |
$\frac{|x|}{x}$ ($x=0$) |
| 第二类 |
至少一个不存在 |
|
| - 无穷 |
$\to \infty$ |
$\frac{1}{x}$ ($x=0$) |
| - 振荡 |
乱跳 |
$\sin\frac{1}{x}$ ($x=0$) |
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 的间断点类型
详解
$x=1$ 处无定义。
$\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2$。
极限存在，故为可去间断点。
题型十 间断点 Part
2/3
$f(x)=e^{1/x}$ 在 $x=0$ 的类型
详解
右极限 $+\infty$ (不存在)。
左极限 0 (存在)。
有一个不存在，即为第二类间断点 (无穷型)。
$f(x)=\frac{|x|}{x}$ 在 $x=0$ 的类型
详解
左 -1，右 1。
都在有限值内，但不相等。
跳跃间断点。
$f(x)=x \sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 的类型
详解
这是“有界x无穷小”。
极限 $\to 0$ (存在)。
无定义但极限存在 $\implies$ 可去间断点。
$f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 的类型
详解
在 -1 到 1 之间疯狂跳动。
极限不存在。
振荡间断点 (第二类)。
题型十 间断点 Part
3/3
$f(x)=\begin{cases}x,&x\ne 1\\\frac{1}{2},&x=1\end{cases}$
详解
极限为 1，函数值为 1/2。
极限存在但不等于函数值。
可去间断点。
$f(x)=\frac{x^2-x}{|x|(x^2-1)}$ 的间断点分类
详解
无定义点: $0, 1, -1$。
$x=1$: 约分后极限存在 $\implies$ 可去。
$x=0$: 左$\ne$右 $\implies$ 跳跃。
$x=-1$: 分母0 $\implies$ 无穷。
选择 $f=x^2+\text{arccot}\frac{1}{x-1}$ 在 $x=1$ 的类型
详解
$t = \frac{1}{x-1}$。
$x \to 1^+ \implies t \to +\infty \implies \text{arccot} \to 0$
$x \to 1^- \implies t \to -\infty \implies \text{arccot} \to \pi$
左 $\ne$ 右 $\implies$ 跳跃间断点。
总结 十大题型速查表
| 题型 |
关键词 |
口诀 |
| 一 |
代入 |
分母非0即答案 |
| 二 |
0/0 |
分解、有理、洛必达 |
| 三 |
$\infty/\infty$ |
抓老大(最高次) |
| 四 |
$\infty-\infty$ |
通分、根号共轭 |
| 五 |
$\sin \square/\square$ |
凑相同，趋于1 |
| 六 |
$1^\infty$ |
$(1+k/x)^x \to e^k$ |
| 七 |
等价 |
乘除大胆换 |
| 八 |
左右 |
分段点必须分 |
| 九 |
连续 |
左=右=函数值 |
| 十 |
间断 |
可去跳跃/无穷振荡 |
做题心法：看到题先代入，判断类型再动手！
COMPLETE
复习完毕
基础不牢，地动山摇
已完成所有核心与进阶练习