函数的连续性 — 第二章第5课

引入 · 从生活现象到数学问题01 / 24

为什么要研究"连续性"？

自然界中很多现象都是连续变化的。例如：一天之中气温从早晨的低温缓慢升高到午后的高温，再慢慢降低——温度不会突然从10°C跳到30°C，而是经历了中间的每一个温度值。这种"中间值都会经过"的性质，就是连续的直觉含义。

📌 实例1：导线中的电流

导线中的电流通常是连续变化的——电流值平稳地从一个数值过渡到另一个数值。但当电流过大、烧断保险丝时，电流突然变为 0，这时电流的连续性就被破坏了，出现了间断。

📌 实例2：矩形波信号

在无线电技术中，矩形波（方波）的电压信号在某些时刻会突然从正值跳到负值，或从负值跳到正值。在这些跳变的时刻，函数是不连续的。

💡 本课核心任务

把上面这些"平滑"和"跳变"的直觉，转化为精确的数学定义，建立判断连续与间断的系统方法。

概念一 · 增量的概念02 / 24

函数的增量：Δx 与 Δy

在定义"连续"之前，我们先引入一个度量变化的工具——增量（increment）。增量描述的是"变了多少"。

📐 自变量的增量 Δx

设自变量 $x$ 从 $x_0$ 变化到新值 $x_1$，则 $$\Delta x = x_1 - x_0$$ 称为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量。此时 $x_1 = x_0 + \Delta x$。

注意：① $\Delta x$ 是一个整体记号，不是"Δ 乘以 x"；② $\Delta x$ 可正（$x$ 增大）、可负（$x$ 减小）、可为零。

📐 函数的增量 Δy

当 $x$ 从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ 时，函数值从 $f(x_0)$ 变到 $f(x_0+\Delta x)$，其变化量 $$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$ 称为函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的增量（或称改变量）。

💡 直觉理解

$\Delta x$ 就是"x 走了多远"，$\Delta y$ 就是"y 跟着变了多少"。如果 x 只走了一小步（$\Delta x$ 很小），y 也只变了一丁点（$\Delta y$ 也很小），说明函数变化"平稳"——这正是连续的直觉！

概念二 · 连续性的定义03 / 24

函数在一点处连续的定义核心

📌 定义（连续性）

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。如果当 $\Delta x \to 0$ 时，对应的函数增量也趋于零，即 $$\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y = \lim_{\Delta x \to 0}\big[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\big]=0$$ 则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，$x_0$ 称为 $f(x)$ 的连续点。

✅ 等价表述（实际做题最常用的形式）

$$f(x) \text{ 在 } x_0 \text{ 连续} \iff \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$$

如何理解这个等价？令 $x = x_0+\Delta x$，则 $\Delta x \to 0$ 等价于 $x \to x_0$，而 $\Delta y = f(x)-f(x_0) \to 0$ 等价于 $f(x) \to f(x_0)$，即 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。

⭐ 连续的三个条件（缺一不可）

条件① $f(x_0)$ 有定义——即函数在 $x_0$ 这个点处有确定的函数值。
条件② $\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)$ 存在——即从左、右两侧趋近 $x_0$ 时函数值分别趋于某个确定的数，且这两个数相等。
条件③ $\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$——极限值恰好等于函数值。

任何一个条件不满足，函数在 $x_0$ 处就不连续——$x_0$ 就是间断点。

💡 形象理解

想象函数图像是一条路。在连续点，你可以不抬笔地画过去；在间断点，你必须把笔抬起来——图像在那里"断了"。

用极限的语言说：当你沿着 $x$ 轴走向 $x_0$ 时（从任何方向），函数值一定会"走到" $f(x_0)$，不会走到别的地方，也不会发散。

概念三 · 左连续与右连续04 / 24

左连续、右连续与连续的充要条件

📌 左连续

如果 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x) = f(x_0)$，即从左侧趋近 $x_0$ 时，函数值趋近于 $f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续。

📌 右连续

如果 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x) = f(x_0)$，即从右侧趋近 $x_0$ 时，函数值趋近于 $f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处右连续。

⭐ 连续的充要条件（非常重要）

$f(x)$ 在 $x_0$ 连续 $\iff$ $f(x)$ 在 $x_0$ 既左连续又右连续
即 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x) = \lim_{x \to x_0^+}f(x) = f(x_0)$

💡 为什么需要区分左右？

有些函数从左边靠近和从右边靠近的行为不一样（比如分段函数在分段点处）。只有两边都"对接上"，才算连续。

概念四 · 区间连续 & 初等函数连续性05 / 24

区间上的连续与初等函数连续性

📌 开区间上连续

若 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内每一个点都连续，则称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续。

📌 闭区间上连续

若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，且
● 在左端点 $a$ 处右连续（即 $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$），
● 在右端点 $b$ 处左连续（即 $\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$），
则称 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。

💡 端点为何只看单侧？

左端点 $a$ 的左边没有定义（超出了区间），所以只能从右边趋近；同理右端点 $b$ 只能从左边趋近。

⭐ 初等函数的连续性（重要结论）

基本初等函数（幂函数 $x^a$、指数函数 $a^x$、对数函数 $\log_a x$、三角函数 $\sin x,\cos x,\tan x,\ldots$、反三角函数 $\arcsin x,\arctan x,\ldots$）在各自的定义域内都是连续的。

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所得到的一切初等函数，在其定义域内也都是连续的。

🔑 实际应用：代入法的理论根据

如果 $f(x)$ 是初等函数，且 $x_0$ 在其定义域内，则 $$\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$$ 即直接代入就能求极限！这就是前面学过的"代入法"的理论基础。
例如 $\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2+3x-1)=4+6-1=9$。

概念五 · 间断点的概念06 / 24

间断点：连续性被破坏的三种情形

连续有三个条件。任何一个不满足，$x_0$ 就是间断点。因此间断点有三种产生方式：

条件①不满足

函数在 $x_0$ 处根本没有定义。例如 $y=\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处，$y=\tan x$ 在 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 处。

条件②不满足

极限不存在。可能是：左右极限不相等（跳跃）、趋于无穷、无限振荡。

条件③不满足

极限存在、函数值也有定义，但二者不相等。图上看：曲线上有个"洞"，实心点跑到别处去了。

概念六 · 间断点的分类07 / 24

间断点的分类必考

间断点按左右极限是否都存在（都是有限值）分为两大类，再按细节分为四小类：

大类	小类	判断标准	图形特征	典型例子
第一类间断点左、右极限都存在	可去间断点	$\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)$（左右极限相等），但 $\neq f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义	曲线上一个"洞"——补上这个洞函数就连续了	$\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$
第一类间断点左、右极限都存在	跳跃间断点	$\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)\neq\lim_{x\to x_0^+}f(x)$（左右极限不相等）	曲线在该点"跳了一截"	分段函数在分段点处
第二类间断点至少一个极限不存在	无穷间断点	左、右极限中至少一个为 $\infty$（函数值无限增大或无限减小）	函数在该点"冲向天花板或地板"	$\tan x$ 在 $x=\dfrac{\pi}{2}$
第二类间断点至少一个极限不存在	振荡间断点	函数值在某些值之间无限来回振荡，不趋于任何确定的数	曲线在该点附近剧烈抖动	$\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$

⭐ 判断间断点类型的完整步骤

Step 1 找出不连续的点 $x_0$（无定义点、分段点等）→ Step 2 分别求 $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)$ → Step 3 两个极限都是有限值（即都存在）→ 第一类；否则 → 第二类 → Step 4 第一类中：左=右 → 可去；左≠右 → 跳跃。第二类中：趋于∞ → 无穷；来回振荡 → 振荡。

例1 · 无穷间断点08 / 24

例1：$y=\tan x$ 在 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 处

📝 题目

正切函数 $y=\tan x$ 在 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 处没有定义，因此 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 是间断点。试判断其类型。

分析因为 $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，而 $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$，所以 $\tan x$ 在 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 处无定义——条件①不满足。

求极限当 $x \to \dfrac{\pi}{2}$ 时，$\sin x \to 1 \neq 0$，而 $\cos x \to 0$，分子不为零、分母趋于零，因此 $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\tan x = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\cos x} = \infty$$ 更具体地：当 $x \to \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^-$ 时 $\cos x \to 0^+$，故 $\tan x \to +\infty$；当 $x \to \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^+$ 时 $\cos x \to 0^-$，故 $\tan x \to -\infty$。

判断左极限 $=+\infty$、右极限 $=-\infty$，都不是有限值 → 至少一个极限不存在 → 第二类间断点。

✅ 结论

$x=\dfrac{\pi}{2}$ 是 $y=\tan x$ 的无穷间断点（第二类间断点）。
类似地，$x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$（$k$ 为任意整数）都是 $\tan x$ 的无穷间断点。

例2 · 振荡间断点09 / 24

例2：$y=\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处

📝 题目

函数 $y=\sin\dfrac{1}{x}$ 在点 $x=0$ 处没有定义。试判断 $x=0$ 是哪种间断点。

条件① $x=0$ 时 $\dfrac{1}{x}$ 无意义，故 $\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 无定义。

分析极限当 $x \to 0$ 时，$\dfrac{1}{x} \to \infty$，于是 $\sin\dfrac{1}{x}$ 就是对一个趋于无穷大的量取正弦。

回忆正弦函数：$\sin$ 的值域是 $[-1,1]$，且 $\sin$ 是周期函数。当自变量趋于无穷时，$\sin$ 不会趋向任何固定值，而是在 $-1$ 与 $+1$ 之间无限次来回振荡。

结论 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}$ 不存在（既不趋于有限值，也不趋于无穷，而是来回摆动）。
左右极限都不存在 → 第二类间断点 → 具体为振荡间断点。

💡 振荡间断 vs 无穷间断

无穷间断点：函数值"冲向无穷"，越来越大（或越来越小）。
振荡间断点：函数值既不越来越大也不越来越小，而是在某个范围内永不停歇地来回摆动。

例3 · 可去间断点 & 跳跃间断点10 / 24

例3：分段函数的间断点分析

📝 题目

函数 $f(x)=\begin{cases} x+1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ x+1, & x < 0 \end{cases}$
当 $x\to 0$ 时，左极限 $\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)$ 是否等于右极限 $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)$？$x=0$ 是什么间断点？

函数值 $f(0)=0$，函数在 $x=0$ 有定义 ✓

左极限当 $x\to 0^-$（从左侧趋近 0，$x<0$），使用 $f(x)=x+1$： $$\lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}(x+1) = 0+1 = 1$$

右极限当 $x\to 0^+$（从右侧趋近 0，$x>0$），使用 $f(x)=x+1$： $$\lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x+1) = 0+1 = 1$$

比较左极限 $=1$，右极限 $=1$，相等，所以 $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=1$ 存在。
但 $f(0)=0 \neq 1$ → 极限值 ≠ 函数值 → 条件③不满足。

✅ 结论

左右极限都存在且相等 → 第一类间断点。极限值 $1\neq 0=f(0)$ → 可去间断点。
所谓"可去"，就是说只要把 $f(0)$ 重新定义为 1，函数就连续了——间断是"可以去掉的"。

练习 · 判断题 (1)(2)11 / 24

判断正误（先独立思考，再看解析）

📝 第(1)题

若 $f(x)$、$g(x)$ 在点 $x_0$ 处均不连续，则 $f(x)+g(x)$ 在点 $x_0$ 处亦不连续。$\quad(\quad)$

✗ 错误

反例构造：取 $f(x)=\begin{cases}1,&x\geq0\\0,&x<0\end{cases}$，$g(x)=\begin{cases}0,&x\geq0\\1,&x<0\end{cases}$
两者在 $x=0$ 处都是跳跃间断点（不连续）。但是 $$f(x)+g(x)=1 \quad(\text{对所有 } x)$$ 这是常值函数，处处连续！所以两个不连续函数之和可能是连续的。

关键教训："两个不连续的函数相加"结果不确定，需要具体分析，不能一概而论。

📝 第(2)题

若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，$g(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则 $f(x)g(x)$ 在点 $x_0$ 处必不连续。$\quad(\quad)$

✗ 错误

反例构造：取 $f(x)=0$（零函数，在 $x_0$ 处连续），$g(x)$ 为任意在 $x_0$ 处不连续的函数。则 $$f(x)\cdot g(x) = 0\cdot g(x) = 0 \quad(\text{对所有 } x)$$ 仍然是零函数，处处连续。所以"一连续一不连续"的乘积未必不连续。

关键教训：当连续的那个函数恰好在 $x_0$ 取值为 0 时，它能"压住"不连续的因子。

💡 深入理解

但如果题目改成"$f(x_0)\neq 0$ 且 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续"，那么 $f(x)g(x)$ 在 $x_0$ 的确不连续。因为当 $f(x_0)\neq 0$ 时，$f(x)$ 不会"压住"不连续性。

练习 · 判断题 (3)(4)12 / 24

判断正误（续）

📝 第(3)题

$y=|x|$ 在 $x=0$ 处不连续。$\quad(\quad)$

✗ 错误

验证三个条件：
① $f(0)=|0|=0$，有定义 ✓
② $\displaystyle\lim_{x\to 0}|x| = 0$，极限存在 ✓ （因为 $\displaystyle\lim_{x\to 0^-}|x|=\lim_{x\to 0^-}(-x)=0$，$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}|x|=\lim_{x\to 0^+}x=0$，左=右=0）
③ $\displaystyle\lim_{x\to 0}|x|=0=f(0)$ ✓
三个条件全满足 → $y=|x|$ 在 $x=0$ 处连续。

注意：图像在 $x=0$ 处有一个"V型尖角"，但尖角不影响连续性！连续只要求"不断开"，不要求"光滑"。光滑（没有尖角）是更强的性质，涉及到后面要学的"可导"概念。

📝 第(4)题

$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当 $f(x)$ 在 $x_0$ 处既左连续又右连续。$\quad(\quad)$

✓ 正确

这就是我们学过的连续的充要条件： $$f(x) \text{ 在 } x_0 \text{ 连续} \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0)$$ 左连续 = 左极限等于函数值，右连续 = 右极限等于函数值。两边都连上了，当然整体就连续了。

💡 四道判断题总结

(1) ✗ 两个不连续函数之和可能连续（反例：互补的分段函数）
(2) ✗ 连续 × 不连续未必不连续（反例：零函数 × 任何函数）
(3) ✗ $|x|$ 在 $x=0$ 连续（尖角 ≠ 间断）
(4) ✓ 连续 ⟺ 左连续 + 右连续

练习 · 求参数使连续13 / 24

求常数 $a,b$ 使函数连续高频

📝 题目

设 $f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x}\sin x, & x<0 \\[10pt] a, & x=0 \\[6pt] x\sin\dfrac{1}{x}+b, & x>0 \end{cases}$
要使 $f(x)$ 连续，求常数 $a,b$ 的值。

思路分段函数在分段点处连续 ⟹ 左极限 $=$ 右极限 $= f(0) = a$。分别求左、右极限，然后列方程。

求左极限当 $x<0$ 时 $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$，所以 $$\lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x} = 1$$ 这里使用了第一个重要极限 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。
注意：虽然这里 $x\to 0^-$（从负方向趋近），但该极限公式对左趋近同样适用。

求右极限当 $x>0$ 时 $f(x)=x\sin\dfrac{1}{x}+b$，分两部分分析：
● $\sin\dfrac{1}{x}$ 是有界函数（值域 $[-1,1]$）
● $x \to 0^+$ 时 $x$ 是无穷小
由性质"有界函数 × 无穷小 = 无穷小"，得 $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\sin\frac{1}{x}=0$。
故 $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x) = 0 + b = b$。

列方程连续要求：左极限 = 右极限 = $f(0)$ $$1 = b = a$$

✅ 结论

$a=1,\; b=1$。

💡 此类题的通用方法

求参数使分段函数在分段点连续：
① 在分段点处分别求左极限和右极限（用分段点两侧对应的公式）；
② 令左极限 = 右极限 = 函数值，列方程求解。
③ 计算极限时综合运用之前学过的方法：代入法、重要极限、无穷小性质等。

练习 · 间断点分类第(1)题14 / 24

指出间断点并判断类型 (1)

📝 题目

$f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$，找出所有间断点并指明类型。

找间断点 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}$。
分母为零的点：$x=1$ 和 $x=-1$。在这两点函数无定义 → 都是间断点。

分析 x=1 当 $x\to 1$ 时：分子 $=1\neq 0$，分母 $(x-1)(x+1)\to 0\cdot 2 = 0$。
分子不为零、分母趋于零 → 分式趋于无穷： $$\lim_{x\to 1}\frac{1}{x^2-1} = \infty$$ 极限为 $\infty$ → 左右极限至少一个不存在 → 第二类间断点 → 无穷间断点。

分析 x=−1 同理：当 $x\to -1$ 时，分母 $(x-1)(x+1)\to(-2)\cdot 0=0$，分子仍为 1 ≠ 0。 $$\lim_{x\to -1}\frac{1}{x^2-1} = \infty$$ → 无穷间断点（第二类）。

✅ 结论

$x=1$ 和 $x=-1$ 都是 $f(x)$ 的无穷间断点（第二类间断点）。

练习 · 间断点分类第(2)题15 / 24

指出间断点并判断类型 (2)

📝 题目

$f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$，找出间断点并指明类型。

找间断点当 $x=0$ 时 $\dfrac{1}{x}$ 无意义 → $\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ 在 $x=0$ 无定义 → $x=0$ 是间断点。

求左极限当 $x\to 0^-$ 时，$x$ 是负数且趋于 0，所以 $\dfrac{1}{x}\to -\infty$。
回忆指数函数性质：$\mathrm{e}^t$ 当 $t\to -\infty$ 时趋于 0。 $$\lim_{x\to 0^-}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} = \mathrm{e}^{-\infty} = 0$$ 左极限存在且等于 0。

求右极限当 $x\to 0^+$ 时，$x$ 是正数且趋于 0，所以 $\dfrac{1}{x}\to +\infty$。 $$\lim_{x\to 0^+}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} = \mathrm{e}^{+\infty} = +\infty$$ 右极限为 $+\infty$，不存在（不是有限值）。

✅ 结论

右极限为 $+\infty$（不存在）→ 第二类间断点 → 无穷间断点。

注意：虽然左极限存在（=0），但只要有一个方向的极限不是有限值，就属于第二类。

练习 · 间断点分类第(3)题16 / 24

指出间断点并判断类型 (3)

📝 题目

$f(x)=\begin{cases} x, & x\neq 1 \\[4pt] \dfrac{1}{2}, & x=1 \end{cases}$，判断 $x=1$ 处的间断点类型。

函数值 $f(1)=\dfrac{1}{2}$，有定义 ✓。

求极限当 $x\neq 1$ 时 $f(x)=x$，所以 $$\lim_{x\to 1^-}f(x) = \lim_{x\to 1^-}x = 1, \quad \lim_{x\to 1^+}f(x) = \lim_{x\to 1^+}x = 1$$ 左极限 = 右极限 = 1，所以 $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) = 1$，极限存在 ✓。

比较极限值 $= 1 \neq \dfrac{1}{2} = f(1)$。极限存在但 ≠ 函数值 → 条件③不满足。

✅ 结论

左右极限都存在且相等（都=1）→ 第一类间断点 → 极限值≠函数值 → 可去间断点。
如果把 $f(1)$ 改为 1，函数就变成 $f(x)=x$ 处处连续了——间断被"去掉"了。

练习 · 间断点分类第(4)题17 / 24

指出间断点并判断类型 (4)

📝 题目

$f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x+1}, & x < -1 \\[8pt] x, & -1 \leq x \leq 1 \\[4pt] (x-1)\sin\dfrac{1}{x-1}, & x > 1 \end{cases}$
找出所有间断点并指明类型。

定位间断点这是三段函数，分段点为 $x=-1$ 和 $x=1$。在分段点处公式可能"对接不上"，需要分别检查。
另外 $\dfrac{1}{x+1}$ 在 $x=-1$ 处无定义，但题目中 $x=-1$ 属于第二段 $f(-1)=-1$，有定义。所以只需检查分段点处左右极限是否接得上。

分析 x=−1
函数值：$f(-1)=-1$（用第二段 $f(x)=x$）✓
左极限：$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}\frac{1}{x+1}$。当 $x\to -1^-$ 时，$x+1\to 0^-$（从负方向趋于 0），所以 $\dfrac{1}{x+1}\to -\infty$。
左极限为 $-\infty$，不存在 → 第二类间断点（无穷间断点）。

分析 x=1
函数值：$f(1)=1$（用第二段 $f(x)=x$）✓
左极限：$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}x = 1$ ✓

x=1 右极限
$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(x-1)\sin\frac{1}{x-1}$。
当 $x\to 1^+$ 时，$x-1\to 0^+$（无穷小），而 $\sin\dfrac{1}{x-1}$ 有界（值域 $[-1,1]$）。
由"有界 × 无穷小 = 无穷小"→ $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}(x-1)\sin\frac{1}{x-1}=0$。

左极限 $= 1 \neq 0 =$ 右极限 → 左右极限都存在但不相等。

✅ 结论

● $x=-1$：左极限为 $-\infty$ → 无穷间断点（第二类）
● $x=1$：左极限 $=1$，右极限 $=0$，两者不等 → 跳跃间断点（第一类）

练习 · 连续性判定与连续区间18 / 24

判定连续性并求连续区间

📝 题目

$f(x)=\begin{cases} x^2-1, & 0\leq x\leq 1 \\[4pt] x+1, & x>1 \end{cases}$
判定 $f(x)$ 在 $x=\dfrac{1}{2}$、$x=1$、$x=2$ 处的连续性，并求出连续区间。

x=1/2 在 $(0,1)$ 内部，$f(x)=x^2-1$ 是多项式（初等函数），在定义域内连续。
$\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}}(x^2-1)=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$，而 $f\!\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$。
极限 = 函数值 → 连续 ✓

x=1 左极限 $\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(x^2-1)=1-1=0$

x=1 右极限 $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(x+1)=1+1=2$
左极限 $0 \neq 2$ 右极限 → 不连续（跳跃间断点，第一类）

x=2 在 $(1,+\infty)$ 内部，$f(x)=x+1$ 是初等函数，在定义域内连续。
$\displaystyle\lim_{x\to 2}(x+1)=3=f(2)$ → 连续 ✓

✅ 连续区间

● 在 $[0,1)$ 上：区间内部每点连续（初等函数），左端点 $x=0$ 右连续（$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(x^2-1)=-1=f(0)$ ✓）。但右端点 $x=1$ 处不连续，所以是半开区间。
● 在 $(1,+\infty)$ 上：$f(x)=x+1$ 连续。
连续区间：$[0,1)$ 和 $(1,+\infty)$。

💡 注意 $x=1$ 处 $f(1)$ 的值

$f(1)=1^2-1=0$（属于第一段）。左极限也是 0，所以 $f$ 在 $x=1$ 左连续。但右极限为 2 ≠ 0 = $f(1)$，所以不右连续，因而不连续。

题型归纳 · 方法总结19 / 24

本节四大题型与解法要点

题型一：判断函数在某点是否连续

方法：逐一验证三个条件。
① $f(x_0)$ 是否有定义？
② $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$ 是否存在？（需验证左极限=右极限）
③ 极限值是否等于 $f(x_0)$？
三个都满足 → 连续；否则 → 不连续。

题型二：找间断点并分类

Step 1 找"可疑点"：无定义的点（分母=0、对数真数≤0等）、分段函数的分段点。
Step 2 对每个可疑点，分别求左极限和右极限。
Step 3 分类：
· 左右极限都存在（有限值）→ 第一类（左=右：可去；左≠右：跳跃）
· 至少一个不存在 → 第二类（∞：无穷；振荡：振荡）

题型三：求参数使函数连续

方法：在每个分段点处列方程：
$$\lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0)$$ 分别用两侧的表达式求出左、右极限（通常需要用重要极限、无穷小性质等技巧），然后令它们相等、再等于函数值，解出未知参数。

题型四：求连续区间

方法：
① 对于初等函数：定义域就是连续区间。
② 对于分段函数：先判断每个分段点的连续性，不连续的点将定义域分割为若干段，每段就是一个连续区间。
③ 注意端点：左端点看右连续，右端点看左连续。

专题强化 · 三个条件缺哪个？21 / 24

辨析：连续三条件各缺一个的情况

下面三个例子分别展示"三个条件中恰好缺一个"是什么样的。这种辨析能力是考试的关键。

缺条件①：函数值不存在

$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$：
$f(1)$ 无定义（分母=0）。
但 $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$。
极限存在=2，但函数值不存在 → 可去间断点。

缺条件②：极限不存在

符号函数 $\text{sgn}(x)=\begin{cases}1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}$ 在 $x=0$：
$f(0)=0$ ✓
$\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=-1,\;\lim_{x\to0^+}f(x)=1$，左≠右 → 极限不存在 → 跳跃间断点。

缺条件③：极限≠函数值

$f(x)=\begin{cases}x,&x\neq1\\\frac{1}{2},&x=1\end{cases}$ 在 $x=1$：
$f(1)=\frac{1}{2}$ ✓
$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1$ 存在 ✓
但 $1\neq\frac{1}{2}$ → 条件③不满足 → 可去间断点。

⭐ 总结口诀

没定义 → 看极限是否存在 → 存在则"可去"，不存在则看是趋于∞还是振荡。
有定义但极限不存在 → 左≠右就是跳跃，趋于∞就是无穷，来回摆就是振荡。
有定义且极限存在但不等 → 可去间断点。

易错警示22 / 24

常见易错点汇总

❌ 易错1：尖角 ≠ 间断

$y=|x|$ 在 $x=0$ 处有"V 型尖角"，但 $f$ 在 $x=0$ 连续。连续只要求"不断开"，不要求"光滑"。光滑是更强的条件（可导），下一章会学。

❌ 易错2：混淆"极限存在"与"函数有定义"

$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在，不等于 $f(x_0)$ 有定义。例如 $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 无定义，但极限存在且等于 2。反之，$f(x_0)$ 有定义也不保证极限存在。

❌ 易错3：只检查一侧极限

判断分段函数连续性时，必须分别求左极限和右极限，不能只看一侧。左右极限都等于函数值才连续。

❌ 易错4：第一类 vs 第二类判断错误

分类的关键标准是左右极限是否都是有限值。即使一侧是有限值、另一侧是 $\infty$，也属于第二类（如 $\mathrm{e}^{1/x}$ 在 $x=0$：左极限=0是有限值，右极限=+∞不是有限值）。

❌ 易错5："可去间断点"不一定没定义

可去间断点有两种情况：
① 函数在 $x_0$ 无定义，但极限存在（如 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$）；
② 函数在 $x_0$ 有定义，但函数值 ≠ 极限值（如 $f(x)=\begin{cases}x,&x\neq1\\\frac{1}{2},&x=1\end{cases}$ 在 $x=1$）。
只要左右极限相等，就是可去的。

知识总结23 / 24

本课知识全景图

一、核心概念

增量：$\Delta x = x - x_0$，$\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$
连续：$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$（三条件缺一不可）
左/右连续：$\displaystyle\lim_{x\to x_0^{\mp}}f(x)=f(x_0)$
充要条件：左连续 + 右连续 ⟺ 连续
初等函数：在定义域内连续

二、间断点分类

第一类（左右极限都存在）→ 可去（左=右）/ 跳跃（左≠右）
第二类（至少一个不存在）→ 无穷（→∞）/ 振荡（来回摆）

三、解题方法速查

判断连续：验证三条件 ①②③
找间断点：无定义的点 + 分段点
分类间断点：求左右极限 → 都有限？→ 相等？
求参数使连续：左极限 = 右极限 = 函数值列方程

四、与前后知识的联系

向前看：连续性的判断依赖于极限的计算（第一个重要极限、无穷小性质、四则运算法则等）——这是前几课学过的内容。
向后看：连续是可导的必要条件（下一章将学到：可导一定连续，连续不一定可导）。

补充例题 A

可去间断点判断

例题

判断 $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ 在 $x=2$ 处的间断类型。

解

$f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$（$x\neq 2$ 时）

$\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$

但 $f(2)$ 无定义（分母为零），因此 $x=2$ 是可去间断点。

补充定义 $f(2)=4$ 即可使函数在 $x=2$ 处连续。

补充例题 B

无穷间断点判断

例题

判断 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处的间断类型。

解

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$，$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$

左右极限都不存在（趋于无穷），因此 $x=0$ 是无穷间断点（第二类间断点）。

小结

若左右极限中至少有一个是无穷大，则为第二类间断点中的无穷间断点。

第5课结束

掌握了连续性与间断点分类后，极限与连续这一章的核心内容已经完成。
下一步将进入导数的学习——导数的定义正是建立在极限与连续之上的。

增量

Δx, Δy

连续

三条件

第一类

可去 / 跳跃

第二类

无穷 / 振荡

初等函数

定义域内连续

大类	小类	判断标准	图形特征	典型例子
第一类间断点左、右极限都存在	可去间断点	\(\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)\)（左右极限相等），但 \(\neq f(x_0)\) 或 \(f(x_0)\) 无定义	曲线上一个"洞"——补上这个洞函数就连续了	\(\dfrac{x^2-1}{x-1}\) 在 \(x=1\)
第一类间断点左、右极限都存在	跳跃间断点	\(\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)\neq\lim_{x\to x_0^+}f(x)\)（左右极限不相等）	曲线在该点"跳了一截"	分段函数在分段点处
第二类间断点至少一个极限不存在	无穷间断点	左、右极限中至少一个为 \(\infty\)（函数值无限增大或无限减小）	函数在该点"冲向天花板或地板"	\(\tan x\) 在 \(x=\dfrac{\pi}{2}\)
第二类间断点至少一个极限不存在	振荡间断点	函数值在某些值之间无限来回振荡，不趋于任何确定的数	曲线在该点附近剧烈抖动	\(\sin\dfrac{1}{x}\) 在 \(x=0\)