用“近似”的力量，化繁为简的艺术
在前面的课程中我们定义了：如果 $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小，记作 $f(x) \sim g(x)$。
这意味着：当 $x \to 0$ 时，它们的图像几乎重合，数值几乎相等。
既然它们"几乎一样"，在计算极限（乘除法）时，能不能用简单的函数（如 $x$）去替换复杂的函数（如 $\sin x$）呢？
答案是：完全可以！这能大大简化计算。
设 $\alpha \sim \alpha', \beta \sim \beta'$，且 $\lim \frac{\alpha'}{\beta'}$ 存在（或为 $\infty$），则：
简单来说：求分式极限时，分子分母中的乘积因子可以用等价无穷小替换。
我们来看一个简单的推导证明：
$$ \lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \left( \frac{\alpha}{\alpha'} \cdot \frac{\alpha'}{\beta'} \cdot \frac{\beta'}{\beta} \right) $$
$$ = \underbrace{\lim \frac{\alpha}{\alpha'}}_{1} \cdot \lim \frac{\alpha'}{\beta'} \cdot \underbrace{\lim \frac{\beta'}{\beta}}_{1} = \lim \frac{\alpha'}{\beta'} $$
鼠标悬停在公式上查看函数图像对比：
悬停左侧公式预览
上述公式中的 $x$ 不仅代表自变量 $x$，还可以代表任何趋于 0 的函数 $f(x)$。
只要 $\lim f(x) = 0$，则：
(其中 $u$ 代表趋于 0 的整体)
当 $x \to 0$ 时，因为 $3x \to 0$，所以：
$$ \sin(3x) \sim 3x $$
当 $x \to 0$ 时，因为 $x^2 \to 0$，所以：
$$ \ln(1 + x^2) \sim x^2 $$
拖动下方滑块放大图像。
观察当视图不断放大（即 $x$ 范围越来越接近 0）时，蓝色曲线 ($\sin x$)、粉色曲线 ($\tan x$) 和黄色虚线 ($x$) 是如何逐渐合二为一的。
这就是"等价"的几何直观：
在微观层面，弯曲的 $\sin x$ 和 $\tan x$ 都可以被直的 $x$ 完美替代。
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x}$
分析 $x \to 0$ 时，分子分母均为 0，且都是乘积因子形式（单个项）。
根据公式：$\sin u \sim u, \tan v \sim v$
这里 $u = 3x \to 0, v = 5x \to 0$
解
$$ \text{原式} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} $$
$$ = \frac{3}{5} $$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x^2)}{1 - \cos x}$
分析
解
$$ \text{原式} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{\frac{1}{2}x^2} $$
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 $$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$
因为 $\tan x \sim x, \sin x \sim x$，所以：
$$ \text{原式} = \lim_{x \to 0} \frac{x - x}{x^3} = 0 \quad (?!) $$
绝对禁止：在加减法中直接代换！
先恒等变形，将加减化为乘积，再替换。
$$ \tan x - \sin x = \tan x (1 - \cos x) $$
代回原式：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x \cdot (1 - \cos x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \frac{1}{2}x^2}{x^3} = \frac{1}{2} $$
当无穷小量作为乘积因子（乘除法中的一部分）时。
例：$\frac{A \cdot B}{C}$，若 $A \sim A'$
则 $\frac{A' \cdot B}{C}$ 成立。
当无穷小量作为加减项时，且代换后导致两项相消为 0 或高阶无穷小被忽略。
例：$A - B$，若 $A \sim x, B \sim x$
不能写成 $x - x = 0$。
虽然 $\tan x$ 和 $\sin x$ 一阶近似都是 $x$，但它们的"微小差异"正是我们要计算的目标。
$$ \tan x \approx x + \frac{1}{3}x^3 $$
$$ \sin x \approx x - \frac{1}{6}x^3 $$
相减得到 $\frac{1}{2}x^3$，这才是真正的非零部分。
如果直接替换成 $x - x$，相当于把最宝贵的 $x^3$ 项给人为丢掉了！
分子分母均为乘积因子。
最简单，直接查表替换。
含有加减运算，不能直接换。
提取公因式、通分、有理化，化为乘积后再换。
底数和指数都含 $x$。
结合 $e^{\lim}$ 公式处理。
(1) 若 $\lim \alpha = 0, \lim \beta = 0$，且 $\alpha \sim \alpha', \beta \sim \beta'$，则 $\alpha - \beta \sim \alpha' - \beta'$。
(2) 当 $x \to 0$ 时，$\sin(2x) + x^2 \sim 2x$。
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x\sin x} - 1}{x^2}$
思考 看到 $\sqrt{1+u} - 1$，想到什么？
公式：$\sqrt{1+u} - 1 \sim \frac{1}{2}u$
这里 $u = x\sin x \to 0$，符合条件。
解
$$ \text{分子} \sim \frac{1}{2}(x\sin x) $$
又因为 $\sin x \sim x$，所以 $\text{分子} \sim \frac{1}{2}x^2$
$$ \text{原式} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2} = \frac{1}{2} $$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}$
陷阱 分子是减法，不能直接把 $\cos x$ 换成 $1-\frac{1}{2}x^2$ 吗？
这里我们可以尝试加一项减一项凑成公式标准型。
$$ \text{分子} = (e^{x^2} - 1) + (1 - \cos x) $$
解
由 $e^{x^2}-1 \sim x^2$ 和 $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
$$ \text{原式} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{1}{2}x^2}{x^2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+3x)}{\sin 2x}$
分析 分子分母都是单项因子，可直接等价替换。
当 $x\to 0$：$\ln(1+3x)\sim 3x,\ \sin 2x\sim 2x$。
解
$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^{5x}-1}{\arctan x}$
分析 这是标准“换芯”结构，内部都趋于 0。
$e^{5x}-1\sim 5x,\ \arctan x\sim x$。
解
$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{5x}{x}=5$$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos 4x}{x^2}$
分析 用 $1-\cos u\sim \frac{u^2}{2}$，其中 $u=4x$。
解
$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{(4x)^2}{2}}{x^2}=\frac{16}{2}=8$$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{x}$
分析 外层先用 $\sqrt{1+u}-1\sim \frac{u}{2}$，再对内层用 $\sin x\sim x$。
即 $\sqrt{1+\sin x}-1\sim \frac{\sin x}{2}\sim \frac{x}{2}$。
解
$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x}{2}}{x}=\frac{1}{2}$$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\tan(2x)\cdot(1-\cos x)}{x^3}$
分析 乘积结构可直接分别替换：
$\tan(2x)\sim 2x,\ 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$。
解
$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{2x\cdot \frac{x^2}{2}}{x^3}=1$$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}$
分析 使用 $\sqrt{1+u}-1\sim \frac{u}{2}$，令 $u=2x$。
则 $\sqrt{1+2x}-1\sim \frac{2x}{2}=x$。
解
$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=1$$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\tan 3x}{\sin 5x}$
分析 直接替换：$\tan 3x\sim 3x,\ \sin 5x\sim 5x$。
解
$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\arcsin(2x)}{\ln(1+x)}$
分析 仍是换芯型：$\arcsin(2x)\sim 2x,\ \ln(1+x)\sim x$。
解
$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{x}=2$$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos 2x}$
分析 分子 $\ln(1+x^2)\sim x^2$，分母 $1-\cos2x\sim \frac{(2x)^2}{2}=2x^2$。
解
$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}$$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x\tan x}$
分析 分子 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，分母 $x\tan x\sim x\cdot x=x^2$。
解
$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}$$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^{\sin x}-1}{\tan x}$
分析 先外层再内层：$e^{\sin x}-1\sim \sin x\sim x$，$\tan x\sim x$。
解
$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=1$$
题目：求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+\tan x)}{x}$
分析 令 $u=\tan x\to0$，则 $\ln(1+u)\sim u$，故分子 $\sim \tan x\sim x$。
解
$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=1$$
乘除放心换，加减慎重看。
遇难先变形，公式记心间。
sin, tan, arcsin, arctan, ln, exp, cos, root
确保自变量或代入的整体 $u \to 0$。
— 课程结束 —