第二章 · 极限与连续

极限

第一课 · 从变化趋势到精确定义

函数极限的概念和思想是整个高等数学的灵魂

lim

∞

ε

→

导入新知

为什么要学习极限？

想象这样两个场景：

🦌 场景一：自然保护区的动物

一群野生动物在保护区中繁衍生长，数量逐年增加。但受食物和空间限制，数量不可能无限增长，最终会稳定在某个值附近。

🔧 场景二：熟练工的工时

当你不断重复同一工作，操作方法不断改善，所需工时逐渐减少，并接近于一个确定的时间（不可能为零）。

💡 共同特征

当自变量按某种趋势变化时，对应的函数值会无限接近于某一个确定的常数。这个"无限接近"的过程和结果，就是我们要学的极限。

基础概念

1自变量的变化趋势

在讨论极限之前，我们先要搞清楚：自变量 $x$ 是怎样变化的？有以下六种基本趋势：

🔭 趋向远方 · 无穷型

双向

$x \to \infty$

$|x|$ 无限增大
向两端无限远

正向

$x \to +\infty$

$x$ 取正值且无限增大
沿数轴向右无限远

负向

$x \to -\infty$

$x$ 取负值且 $|x|$ 无限增大
沿数轴向左无限远

📍 趋近某点 · 局部型

双侧

$x \to x_0$

$x$ 从两侧无限趋近 $x_0$
左右同时靠近

右侧

$x \to x_0^+$

$x$ 从 $x_0$ 的右侧趋近
$x > x_0$ 且越来越接近

左侧

$x \to x_0^-$

$x$ 从 $x_0$ 的左侧趋近
$x < x_0$ 且越来越接近

📌 记忆要点

前三个描述 $x$ "跑向远方"的过程；后三个描述 $x$ "靠近某点"的过程。
上标 "$+$" 表示从右侧来，上标 "$-$" 表示从左侧来。

∞

$x \to \infty$ 时，函数 $f(x)$ 的极限

当自变量越跑越远，函数值会怎样？

核心定义

2$x \to \infty$ 时的极限

从刚才的两个场景中，我们提取出共同的数学本质：

定义一 $x \to \infty$ 时的极限

如果当 $x$ 的绝对值无限增大（即 $x \to \infty$）时，函数 $f(x)$ 无限接近于一个确定的常数 $A$，那么就称 $A$ 为函数 $f(x)$ 在 $x \to \infty$ 时的极限，记为 $$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$$

用说：
当 $x$ 往正无穷或负无穷方向跑得越来越远的时候，$f(x)$ 的值会越来越稳定，稳定在常数 $A$ 附近。

⚠️ 关键词是"确定的常数"。如果 $f(x)$ 的值越来越大或者不断振荡不稳定，就说极限不存在。

直观实例

实例：并联电路电阻

一个 $5\,\Omega$ 的电阻器与一个电阻为 $R$ 的可变电阻并联，电路的总电阻为 $R_T = \dfrac{5R}{5 + R}$。

当可变电阻 $R$ 这条支路突然断路时，相当于 $R \to +\infty$，此时总电阻的极限为：

$$\lim_{R \to +\infty} \frac{5R}{5+R} = \lim_{R \to +\infty} \frac{5}{\ \dfrac{5}{R}+1\ } = \frac{5}{0+1} = 5$$

💡 技巧提示

分子分母同时除以 $R$（即最高次项），这是处理 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型极限的常用手法！

物理意义：当可变电阻断路后，电流只通过 $5\,\Omega$ 电阻，总电阻自然就是 $5\,\Omega$。数学结论和物理直觉完全一致！

经典例题

例1 反正切函数的极限

📝 题目

考察反正切函数 $y = \arctan x$ 在 $x \to \infty$ 时的极限情况。

解：回顾反正切函数的图形，我们分别考察 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 的情况。

当 $x \to +\infty$ 时，$\arctan x$ 无限接近 $\dfrac{\pi}{2}$，即 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$

当 $x \to -\infty$ 时，$\arctan x$ 无限接近 $-\dfrac{\pi}{2}$，即 $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$

⚠️ 由于 $\arctan x$ 不能无限接近同一个确定的常数，所以 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \arctan x$ 不存在。

🔑 启示

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}$ 和 $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}$ 的值不同 → $\displaystyle\lim_{x \to \infty}$ 不存在！

精确化

单侧极限与存在条件

定义二 $x \to +\infty$ 时的极限

如果当 $x \to +\infty$ 时，$f(x)$ 无限接近于常数 $A$，则记为 $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$$

定义二（续） $x \to -\infty$ 时的极限

如果当 $x \to -\infty$ 时，$f(x)$ 无限接近于常数 $A$，则记为 $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = A$$

定理一极限存在的充要条件重要

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = A \iff \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \text{ 且 } \lim_{x \to -\infty} f(x) = A$$

即：$x \to \infty$ 时极限存在，当且仅当 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 时极限都存在且相等。

💡 理解助记

就像从马路两头同时往中间走，只有两个人最终到达同一个位置，才能说"走到了一起"。如果一个到了东，一个到了西（像 $\arctan x$ 那样），就不算。

例题讲解

例2 求 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \mathrm{e}^x$ 的极限

解：我们分别考察 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 两个方向。

当 $x \to +\infty$ 时，$\mathrm{e}^x \to +\infty$，函数值无限增大，不接近任何确定常数。
因此 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x$ 不存在。

当 $x \to -\infty$ 时，$\mathrm{e}^x \to 0$，函数值无限接近 $0$。
因此 $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^x = 0$。

⚠️ 由于 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x$ 不存在，根据定理一，$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \mathrm{e}^x$ 不存在。

注意

虽然 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$，但这只是用正无穷来标记函数值无限增大的趋势，并不是说极限存在。

x₀

$x \to x_0$ 时，函数 $f(x)$ 的极限

当自变量无限靠近某一点，函数值又将如何？

生活场景

3$x \to x_0$ 时的极限

🚶 人影长度

一个人沿直线走向路灯正下方那个点。由常识知道，越靠近目标时，影子长度越短。
当人越来越接近目标（$x \to 0$）时，影子长度逐渐趋于 $0$（$y \to 0$）。

这个实例说明：当自变量无限接近某一点 $x_0$ 时，函数值也会无限接近某一确定的值。

定义三 $x \to x_0$ 时的极限

如果当 $x \to x_0$ 时，函数 $f(x)$ 无限接近于一个确定的常数 $A$，那么称 $A$ 为函数 $f(x)$ 在 $x \to x_0$ 时的极限，记为 $$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$$

深入理解

正确理解 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A$

理解极限定义，需要抓住两个关键要点：

要点一：趋近方式是任意的

$x \to x_0$ 意味着 $x$ 可以从 $x_0$ 的左侧趋近，也可以从右侧趋近。无论从哪一侧，函数值都应无限接近 $A$。

要点二：与 $f(x_0)$ 的值无关

$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 与函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是否有定义无关。极限只关心 $x$ 趋近 $x_0$ 的过程，不关心 $x = x_0$ 那一点的值。

🔧 实例：瞬时速度

自由落体的路程公式为 $s = \dfrac{1}{2}gt^2$。求 $t_0$ 时刻的瞬时速度，就是求平均速度 $\bar{v} = \dfrac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0} = \dfrac{1}{2}g(t + t_0)$ 在 $t \to t_0$ 时的极限： $$v(t_0) = \lim_{t \to t_0} \frac{1}{2}g(t + t_0) = \frac{1}{2}g \cdot 2t_0 = gt_0$$ 这就是导数的雏形！极限是微积分的起点。

核心概念

4左极限与右极限

有时候，从左侧趋近和从右侧趋近的结果可能不同，所以我们需要区分"左极限"和"右极限"。

定义四右极限

当 $x$ 从 $x_0$ 的右侧（即 $x > x_0$）趋近 $x_0$ 时，$f(x)$ 无限接近常数 $A$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右极限： $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$$

定义四（续）左极限

当 $x$ 从 $x_0$ 的左侧（即 $x < x_0$）趋近 $x_0$ 时，$f(x)$ 无限接近常数 $A$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限： $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A$$

定理二极限存在的充要条件重要

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A \text{ 且 } \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A$$

即：极限存在 ⇔ 左极限和右极限都存在且相等。

⚠️ 什么时候需要分别求左右极限？——当函数在 $x_0$ 处的表达式左右不同时（典型的就是分段函数在分段点处）。

重点例题

例3 分段函数的极限判断

📝 题目

设 $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ x, & 0 \leqslant x < 1 \\ 2 - x, & x \geqslant 1 \end{cases}$
判断 $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$ 是否存在。

解：分段函数在分段点处，必须分别求左右极限。

先讨论 $x \to 0$：
右极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$（用 $0 \leqslant x < 1$ 段）

左极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-}(x+1) = 1$（用 $x < 0$ 段）

⚠️ 左极限 $= 1 \neq 0 =$ 右极限，所以 $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在。

再讨论 $x \to 1$：
右极限：$\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+}(2-x) = 1$（用 $x \geqslant 1$ 段）

左极限：$\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1$（用 $0 \leqslant x < 1$ 段）

✅ 左极限 $= 1 =$ 右极限，所以 $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 1$ 存在。

方法总结

分段函数求极限的解题步骤

1

判断是否需要分左右

看所求点 $x_0$ 是否为分段点。如果是，则必须分别求左右极限。

2

选择正确的表达式

求右极限 $x \to x_0^+$ 时，用 $x > x_0$ 对应的那段式子；
求左极限 $x \to x_0^-$ 时，用 $x < x_0$ 对应的那段式子。

3

比较左右极限

左极限 $=$ 右极限 → 极限存在，等于该公共值。
左极限 $\neq$ 右极限 → 极限不存在。

⚡ 易错提醒

常见错误：直接代入 $x_0$ 到某一段表达式就当做极限，忽略了另一段。
正确做法：在分段点处，左右两段的极限值都要算出来再比较。只有两段"对上了"才能说极限存在。

n

$n \to \infty$ 时，数列 $f(n)$ 的极限

数列可以看作自变量为正整数的特殊函数

拓展延伸

5数列的极限

数列可以看作以正整数 $n$ 为自变量的函数，记为 $f(n)$。它的自变量变化趋势只有一种：$n \to \infty$（习惯上用 $n \to \infty$ 表示 $n \to +\infty$）。因此，数列的极限就类似于 $x \to +\infty$ 时函数的极限。

定义五数列的极限

如果当 $n \to \infty$ 时，函数 $f(n)$ 无限接近于一个确定的常数 $A$，那么称 $A$ 为函数 $f(n)$ 在 $n \to \infty$ 时的极限，记为 $$\lim_{n \to \infty} f(n) = A$$

例：$\dfrac{1}{n}$ 的极限

数列 $\dfrac{1}{1},\; \dfrac{1}{2},\; \dfrac{1}{3},\; \dfrac{1}{4},\; \ldots$ 的各项越来越接近 $0$，所以 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。

📌 联系与区别

数列极限是函数极限的特殊情形。区别在于数列的自变量 $n$ 只取正整数（$1, 2, 3, \ldots$），而函数极限的 $x$ 可以取所有实数。

✎

课堂练习

巩固所学知识，检验学习效果

练习 · 判断题

判断对错

（1）若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，则 $f(x_0) = A$。

判断

✗ 错误。 极限描述的是 $x$ 趋近 $x_0$ 过程中 $f(x)$ 的变化趋势，与 $f(x_0)$ 的值无关。函数在 $x_0$ 处甚至可以没有定义，极限照样可以存在。

（2）若 $f(x_0^+)$ 与 $f(x_0^-)$ 都存在，则 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ 必存在。

判断

✗ 错误。 注意题目说的是 $f(x_0^+)$ 和 $f(x_0^-)$（函数值），而不是左右极限值。即使这两个函数值存在，左右极限也未必存在或相等。另外，即使左右极限都存在，也需要相等，极限才存在。

（3）$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$。

判断

✗ 错误。 由例1可知，$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$，$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$，二者不等，所以 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \arctan x$ 不存在，不能写等式。

（4）$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^x = 0$。

判断

✓ 正确。 当 $x \to -\infty$ 时，$\mathrm{e}^x$ 的值越来越小，无限接近于 $0$。这正是我们在例2中分析过的结论。

练习 · 填空题（上）

计算填空

（1）$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) = $ ______

解题技巧：遇到根号相减，有理化（乘以共轭表达式）。
$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \dfrac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$
当 $n \to \infty$ 时，分母 $\to \infty$，所以极限 $= \boxed{0}$

（2）$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin\dfrac{n\pi}{2}}{n} = $ ______

分析：分子 $\sin\dfrac{n\pi}{2}$ 的值在 $-1, 0, 1$ 之间变化（有界），分母 $n \to \infty$。有界量除以无穷大量，极限为 $\boxed{0}$。

（3）$\displaystyle\lim_{x \to 1}(2x - 1) = $ ______

解法：$2x - 1$ 是多项式函数，在任何点都连续，可以直接代入 $x = 1$：
$\displaystyle\lim_{x \to 1}(2x - 1) = 2 \times 1 - 1 = \boxed{1}$

（4）$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + x^2} = $ ______

分析：当 $x \to \infty$ 时，$x^2 \to \infty$，所以 $1 + x^2 \to \infty$。
分子为常数 $1$，分母趋向无穷大，所以极限 $= \boxed{0}$

练习 · 填空题（下）

计算填空（续）

（5）$\displaystyle\lim_{x \to 0} \cos x = $ ______ ，$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \cos x = $ ______

第一个：$\cos x$ 在 $x = 0$ 处连续，直接代入：$\displaystyle\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = \boxed{1}$
第二个：当 $x \to \infty$ 时，$\cos x$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间不断振荡，不趋近于任何确定的常数，所以 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\cos x$ 不存在。

（6）设 $f(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^x, & x \leqslant 0 \\ ax + b, & x > 0 \end{cases}$，则 $f(0^+) = $ ______ ，$f(0^-) = $ ______ ，当 $b = $ ______ 时，$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$。

右极限（$x \to 0^+$，用 $x > 0$ 段）：$f(0^+) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+}(ax + b) = a \cdot 0 + b = \boxed{b}$
左极限（$x \to 0^-$，用 $x \leqslant 0$ 段）：$f(0^-) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^0 = \boxed{1}$

要使 $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$，需左极限 $=$ 右极限 $= 1$。左极限已经是 $1$，右极限为 $b$，所以需要 $b = \boxed{1}$。

（7）$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 的充分必要条件是：当 $x \to x_0$ 时，$f(x) - A$ 为 ______

$f(x) \to A$ 意味着 $f(x) - A \to 0$，即 $f(x) - A$ 是无穷小量（下节课将详细学习）。答案：$\boxed{\text{无穷小量（趋于零）}}$

练习 · 综合题

综合应用

（8）$\displaystyle\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = $ ______ ，$\displaystyle\lim_{x \to \infty} x\sin\frac{1}{x} = $ ______

第一个：$\sin\dfrac{1}{x}$ 有界（值在 $-1$ 和 $1$ 之间），$x \to 0$ 是无穷小量。有界量乘以无穷小量仍为无穷小量，所以 $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = \boxed{0}$

第二个：令 $t = \dfrac{1}{x}$，当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0$。则原式 $= \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}$。这是一个重要极限（下次课会学），其值为 $\boxed{1}$。
（提示：这里只需要知道结论，详细推导将在后续课程中学习。）

思考题：设 $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2}}{x}$，回答下列问题：
（1）$f(x)$ 在 $x = 0$ 处的左、右极限是否存在？
（2）$f(x)$ 在 $x = 0$ 处是否有极限？为什么？
（3）$f(x)$ 在 $x = 1$ 处是否有极限？为什么？

关键化简：$\sqrt{x^2} = |x|$，所以 $f(x) = \dfrac{|x|}{x} = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$（$x=0$ 时无定义）
（1）右极限 $= \displaystyle\lim_{x \to 0^+} 1 = 1$（存在），左极限 $= \displaystyle\lim_{x \to 0^-}(-1) = -1$（存在）
（2）左极限 $(-1) \neq$ 右极限 $(1)$，所以 $x = 0$ 处极限不存在。
（3）$x = 1$ 时 $f(x) = 1$（不是分段点），$\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 1$，极限存在。

课堂小结

本课知识全景

🎯 三个核心思想

① 极限是一种趋势，描述"无限接近"
② 极限与该点的函数值无关
③ 极限存在 ⇔ 左右极限都存在且相等

⚠️ 常见易错点

① 把 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ 和 $f(x_0)$ 混为一谈
② 分段函数忘记分别算左右极限
③ $+\infty$ 不是"极限存在"

极 限

$x \to \infty$ 时，函数 $f(x)$ 的极限

$x \to x_0$ 时，函数 $f(x)$ 的极限

$n \to \infty$ 时，数列 $f(n)$ 的极限

课堂练习

🎯 三个核心思想

⚠️ 常见易错点

极限