两个重要极限

分析：$\sin$ 里面是 $3x$，但分母是 $x$，不一样。我们需要把分母也变成 $3x$。

解：$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{3x}\cdot 3 = 1 \times 3 = 3$

分析：当 $x\to 1$ 时，$x-1\to 0$，$\sin$ 里面是 $x-1$。分母 $2x-2 = 2(x-1)$。

解：$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{\sin(x-1)}{2(x-1)} = \frac{1}{2}\cdot\lim_{x \to 1}\frac{\sin(x-1)}{x-1} = \frac{1}{2}\times 1 = \frac{1}{2}$

分析：$x\to 4$ 时，$2x-8\to 0$。$\sin$ 里面是 $2x-8$，分母 $x^2-16=(x-4)(x+4)$，而 $2x-8=2(x-4)$。

解：$\displaystyle\lim_{x \to 4}\frac{\sin(2x-8)}{x^2-16} = \lim_{x \to 4}\frac{\sin 2(x-4)}{(x-4)(x+4)} = \lim_{x \to 4}\frac{\sin 2(x-4)}{2(x-4)}\cdot\frac{2}{x+4} = 1\times\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

分析：这里是 $\tan x$ 而不是 $\sin x$，但 $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，可以拆开！

解：$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{4x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{4\cos x} = 1\times\frac{1}{4\times 1} = \frac{1}{4}$

分析：底数中 $1$ 加的是 $\dfrac{1}{x-2}$，所以 $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$，指数应该是 $x-2$ 才能直接用公式。但现在指数是 $x$，不匹配！

解：把指数 $x$ 拆成 $(x-2)\cdot\dfrac{x}{x-2}$，即：
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)^x = \lim_{x\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x-2}\right)^{x-2}\right]^{\frac{x}{x-2}} = \text{e}^{\,\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-2}} = \text{e}^1 = \text{e}$

分析：$x\to 3$ 时，底数 $x-2\to 1$，指数 $\dfrac{1}{x^2-9}\to\infty$，是 $1^\infty$ 型。把底数写成 $1+(x-3)$。

解：$x-2 = 1+(x-3)$，所以 $f(x) = x-3 \to 0$，指数 $\dfrac{1}{x^2-9} = \dfrac{1}{(x-3)(x+3)}$。
$\displaystyle\lim_{x\to 3}(x-2)^{\frac{1}{x^2-9}} = \lim_{x\to 3}\big[1+(x-3)\big]^{\frac{1}{(x-3)(x+3)}} = \lim_{x\to 3}\left[\big(1+(x-3)\big)^{\frac{1}{x-3}}\right]^{\frac{1}{x+3}}$

内层 $\to \text{e}$，外层指数 $\dfrac{1}{x+3}\to\dfrac{1}{6}$，所以结果 $= \text{e}^{\frac{1}{6}}$

分析：第一个重要极限要求 $x\to 0$，而这里是 $x\to\infty$。当 $x\to\infty$ 时，$\sin x$ 在 $[-1,1]$ 之间振荡（有界），而分母 $x\to\infty$，由"有界量 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小"知，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x} = 0$，不等于 $1$。

分析：底数是 $1 + \left(-\dfrac{1}{x}\right)$，$f(x) = -\dfrac{1}{x}$，指数是 $x$。$f(x)\cdot g(x) = -\dfrac{1}{x}\cdot x = -1$，所以 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x = \text{e}^{-1} = \frac{1}{\text{e}}$，不等于 $\text{e}$。

分析：$x\to 0$ 时分子分母都趋于 $0$，是 $\dfrac{0}{0}$ 型。注意分子分母都是"加"的形式，不能直接用重要极限公式（公式要求分子是 $\sin$，分母是同一个东西）。技巧：分子分母同除以 $x$。

解：分子分母同时除以 $x$：
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x + 3x}{\tan x + 2x} = \lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{\sin x}{x} + 3}{\dfrac{\tan x}{x} + 2}$

由 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$，$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} = 1$，代入得：
$= \dfrac{1 + 3}{1 + 2} = \dfrac{4}{3}$

分析：$x\to 0$ 时，底数 $1-3x\to 1$，指数 $\dfrac{2}{x}\to\infty$，是 $1^\infty$ 型。底数中 $f(x) = -3x$。

解（方法一：凑配法）：
$\displaystyle\lim_{x\to 0}(1-3x)^{\frac{2}{x}} = \lim_{x\to 0}\left[(1-3x)^{\frac{1}{-3x}}\right]^{-3x\cdot\frac{2}{x}}$
内层 $\to \text{e}$，外层指数 $-3x\cdot\dfrac{2}{x} = -6$
$= \text{e}^{-6}$

解（方法二：快速公式）：
$f(x) = -3x$，$g(x) = \dfrac{2}{x}$，$f(x)\cdot g(x) = -3x\cdot\dfrac{2}{x} = -6$
所以 $\displaystyle\lim_{x\to 0}(1-3x)^{\frac{2}{x}} = \text{e}^{-6}$

分析：$x\to 0$ 时分子分母都趋于 $0$，是 $\dfrac{0}{0}$ 型。关键是对分子进行变形：$\tan x - \sin x = \dfrac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x\cdot\dfrac{1-\cos x}{\cos x}$

解：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x\cdot\dfrac{1-\cos x}{\cos x}}{x^3} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac{1}{\cos x}$

其中 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$，$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x} = 1$。
对于 $\dfrac{1-\cos x}{x^2}$，利用 $1-\cos x = 2\sin^2\dfrac{x}{2}$：
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{2\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^2}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{2\cdot\frac{x^2}{4}}{x^2} = \frac{1}{2}$
所以原式 $= 1\times\dfrac{1}{2}\times 1 = \dfrac{1}{2}$

分析：$x\to\infty$ 时，底数 $\dfrac{x+1}{x+2}\to 1$，指数 $x\to\infty$，是 $1^\infty$ 型。关键是把底数写成 $1+\text{什么}$ 的形式。

变形：$\dfrac{x+1}{x+2} = \dfrac{(x+2)-1}{x+2} = 1 - \dfrac{1}{x+2} = 1 + \left(-\dfrac{1}{x+2}\right)$
所以 $f(x) = -\dfrac{1}{x+2}$，$g(x) = x$

解：$f(x)\cdot g(x) = -\dfrac{1}{x+2}\cdot x = -\dfrac{x}{x+2} \to -1$（$x\to\infty$ 时）
所以 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^x = \text{e}^{-1} = \frac{1}{\text{e}}$